VI.3. Fonctions convexes
7 ◦ ) Soit Λ k le simplexe-unité (ou simplexe élémentaire) de R k , c’est-à-dire
Λ k :=
λ = (λ 1 , . . . , λ k ) | λ i 0 pour tout i,
k
i=1
λ i = 1
.
Pour tout λ ∈ Λ k , on note n(λ) := Card{i | λ i > 0} .
a) Montrer que la dimension faciale de λ relative à Λ k est n(λ) − 1.
b) Soit B un sous-ensemble de R n et considérons y ∈ convB. Il existe donc
λ = (λ 1 , . . . , λ k ) ∈ Λ k , b 1 , . . . , b k dans B tels que y =
k
i=1
λ i b i .
Considérons A : R k → R n définie par
α = (α 1 , . . . , α k ) ∈ R
k
−→ A(α) :=
k
i=1
α i b i .
Déduire de la 5 e question qu’il existe une représentation y =
k
i=1
λ i b i , λ =
(λ 1 , . . . , λ k ) ∈ Λ k , telle que dim L Λ k (λ) n. Quel résultat classique d’Analyse
convexe retrouve-t-on ainsi ?
8 ◦ ) On suppose que l’état x(k) d’un système à l’instant k ∈ {0, 1, . . . , T + 1}
est décrit de la manière suivante :
(E)
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x(0) = x 0 [état initial] ;
∀k ∈ {0, 1, . . . , T } , x(k + 1) = A(k)x(k) + B(k)u(k)
(loi d’évolution du système),
où A(k) est une matrice réelle (n, n), B(k) une matrice (n, m) et
u(0), u(1), . . . , u(T ) une suite de vecteurs de R m appelés contrôles (ou commandes). Les contrôles u(k) sont assujettis aux contraintes
(A d )
u(k) ∈ U (k) pour tout k = 0, 1, . . . , T,
où U (0), U(1), . . . , U(T ) sont des convexes compacts non vides de R m .
À chaque suite u := (u(0), . . . , u(T )) de contrôles admissibles (i.e., vérifiant
(A d )) est associée par (E) une suite d’états (x u (0), x u (1), . . . , x u (T ), x u (T + 1)).
On dit que l’état
x u (T + 1) est atteint en utilisant la suite u de contrôles.
Soit y ∈ R n un élément qui peut être atteint par une suite u de contrôles.
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7 ◦ ) Soit Λ k le simplexe-unité (ou simplexe élémentaire) de R k , c’est-à-dire
Λ k :=
λ = (λ 1 , . . . , λ k ) | λ i 0 pour tout i,
k
i=1
λ i = 1
.
Pour tout λ ∈ Λ k , on note n(λ) := Card{i | λ i > 0} .
a) Montrer que la dimension faciale de λ relative à Λ k est n(λ) − 1.
b) Soit B un sous-ensemble de R n et considérons y ∈ convB. Il existe donc
λ = (λ 1 , . . . , λ k ) ∈ Λ k , b 1 , . . . , b k dans B tels que y =
k
i=1
λ i b i .
Considérons A : R k → R n définie par
α = (α 1 , . . . , α k ) ∈ R
k
−→ A(α) :=
k
i=1
α i b i .
Déduire de la 5 e question qu’il existe une représentation y =
k
i=1
λ i b i , λ =
(λ 1 , . . . , λ k ) ∈ Λ k , telle que dim L Λ k (λ) n. Quel résultat classique d’Analyse
convexe retrouve-t-on ainsi ?
8 ◦ ) On suppose que l’état x(k) d’un système à l’instant k ∈ {0, 1, . . . , T + 1}
est décrit de la manière suivante :
(E)
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x(0) = x 0 [état initial] ;
∀k ∈ {0, 1, . . . , T } , x(k + 1) = A(k)x(k) + B(k)u(k)
(loi d’évolution du système),
où A(k) est une matrice réelle (n, n), B(k) une matrice (n, m) et
u(0), u(1), . . . , u(T ) une suite de vecteurs de R m appelés contrôles (ou commandes). Les contrôles u(k) sont assujettis aux contraintes
(A d )
u(k) ∈ U (k) pour tout k = 0, 1, . . . , T,
où U (0), U(1), . . . , U(T ) sont des convexes compacts non vides de R m .
À chaque suite u := (u(0), . . . , u(T )) de contrôles admissibles (i.e., vérifiant
(A d )) est associée par (E) une suite d’états (x u (0), x u (1), . . . , x u (T ), x u (T + 1)).
On dit que l’état
x u (T + 1) est atteint en utilisant la suite u de contrôles.
Soit y ∈ R n un élément qui peut être atteint par une suite u de contrôles.
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