Chapitre VI. Ensembles et fonctions convexes. Projection...
5 ◦ ) Soient A : R p → R q une application affine et C un convexe compact non
vide de R p .
a) On considère y 0 ∈ A(C). Indiquer pourquoi A −1 (y 0 ) est convexe et fermé.
b) On prend un point extrémal x 0 de A −1 (y 0 ) ∩ C (Pourquoi en existe-t-il ?).
Soit z un élément de L C (x 0 ).
– Montrer que A(x 0 + z) − y 0 ∈ L A(C) (y 0 ).
– Établir que A(x 0 + z) = y 0 implique z = 0.
– En déduire que A : aff(F C (x 0 )) → aff(F A(C) (y 0 )) ainsi que
A : F C (x 0 ) → F A(C) (y 0 ) sont injectives, et que
dim L C (x 0 ) dim L A(C) (y 0 ).
On a ainsi démontré que pour tout y 0 ∈ A(C), il existe x 0 ∈ A −1 (y 0 ) ∩ C tel
que la dimension faciale de x 0 relative à C soit inférieure à la dimension faciale
de y 0 relative à A(C).
6 ◦ ) Soient A 1 , . . . , A k , k compacts non vides de R n et
C := conv A 1 × conv A 2 × . . . × conv A k .
On considère A : R nk → R n définie par
x = (x 1 , . . . , x k ) ∈ R
n
× . . . × R
n
−→ A(x) :=
k
i=1
x i .
a) Rappeler pourquoi A(C) = conv(A 1 + . . . + A k ).
b) Soit y =
k
i=1
x i avec x i ∈ convA i pour tout i = 1, . . . , k. Montrer que :
dim L C (x) =
k
i=1
dim L conv A i (x i ).
Montrer qu’un point extrémal de convA i appartient nécessairement à A i .
Déduire du résultat de la 5 e question qu’il existe une représentation y =
k
i=1
x i
avec :
x i ∈ convA i pour tout i,
Card {i | x i /
∈ A i } n (c’est le théorème de Shapley et Folkman).
On suppose que x i 0 ∈ int(convA i 0 ) pour un certain i 0 . Que peut-on dire des
autres x i ?
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