VI.3. Fonctions convexes
3 ◦ ) D’après la 1 re question, si B et C sont convexes,
(A + B = A + C) ⇒ (B = C),
et ce quel que soit A ∈ K(R n ).
Réciproquement, si B ou C n’est pas convexe – disons B – on peut avoir
A + B = A + C sans avoir B = C ; il suffit pour cela, d’après la 2 e question,
de considérer A = n(convB).
** Probl` eme VI.14. Soit C un convexe (non vide) de R n et x 0 ∈ C. On note
K C (x 0 ) le cône engendré par C − x 0 (c’est-à-dire K C (x 0 ) = R + (C − x 0 )) et
L C (x 0 ) le plus grand sous-espace vectoriel contenu dans K C (x 0 ). On appelle
L C (x 0 ) le sous-espace facial de x 0 relatif à C. L’ensemble
F C (x 0 ) := [x 0 + L C (x 0 )] ∩ C
est appelé face de x 0 dans C.
1 ◦ ) Vérifier que
L C (x 0 ) = {d ∈ R
n
| ∃ ε > 0 tel que x 0 + λd ∈ C pour | λ | < ε} .
En déduire que F C (x 0 ) est la réunion de tous les segments [a, b] contenus
dans C et ayant x 0 dans leur intérieur relatif.
2 ◦ ) Montrer que x 0 est un point extrémal de C si et seulement si L C (x 0 ) se
réduit à {0} (ou, ce qui revient au même, F C (x 0 ) se réduit à {x 0 }).
3 ◦ ) Soient D un autre convexe de R n et x 0 ∈ C ∩ D. Établir
F C∩D (x 0 ) = F C (x 0 ) ∩ F D (x 0 ),
L C∩D (x 0 ) = L C (x 0 ) ∩ L D (x 0 ).
4 ◦ ) Vérifier que
aff (F C (x 0 )) = x 0 + L C (x 0 ).
(aff S désigne le sous-espace affine engendré par S) et par conséquent
dim F C (x 0 ) = dim L C (x 0 ).
dim L C (x 0 ) est ce qu’il est convenu d’appeler la dimension faciale de x 0
relative à C.
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3 ◦ ) D’après la 1 re question, si B et C sont convexes,
(A + B = A + C) ⇒ (B = C),
et ce quel que soit A ∈ K(R n ).
Réciproquement, si B ou C n’est pas convexe – disons B – on peut avoir
A + B = A + C sans avoir B = C ; il suffit pour cela, d’après la 2 e question,
de considérer A = n(convB).
** Probl` eme VI.14. Soit C un convexe (non vide) de R n et x 0 ∈ C. On note
K C (x 0 ) le cône engendré par C − x 0 (c’est-à-dire K C (x 0 ) = R + (C − x 0 )) et
L C (x 0 ) le plus grand sous-espace vectoriel contenu dans K C (x 0 ). On appelle
L C (x 0 ) le sous-espace facial de x 0 relatif à C. L’ensemble
F C (x 0 ) := [x 0 + L C (x 0 )] ∩ C
est appelé face de x 0 dans C.
1 ◦ ) Vérifier que
L C (x 0 ) = {d ∈ R
n
| ∃ ε > 0 tel que x 0 + λd ∈ C pour | λ | < ε} .
En déduire que F C (x 0 ) est la réunion de tous les segments [a, b] contenus
dans C et ayant x 0 dans leur intérieur relatif.
2 ◦ ) Montrer que x 0 est un point extrémal de C si et seulement si L C (x 0 ) se
réduit à {0} (ou, ce qui revient au même, F C (x 0 ) se réduit à {x 0 }).
3 ◦ ) Soient D un autre convexe de R n et x 0 ∈ C ∩ D. Établir
F C∩D (x 0 ) = F C (x 0 ) ∩ F D (x 0 ),
L C∩D (x 0 ) = L C (x 0 ) ∩ L D (x 0 ).
4 ◦ ) Vérifier que
aff (F C (x 0 )) = x 0 + L C (x 0 ).
(aff S désigne le sous-espace affine engendré par S) et par conséquent
dim F C (x 0 ) = dim L C (x 0 ).
dim L C (x 0 ) est ce qu’il est convenu d’appeler la dimension faciale de x 0
relative à C.
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