Chapitre VI. Ensembles et fonctions convexes. Projection...
d’où σ B = σ C et, par conséquent, conv B = conv C (rappelons que lorsque
S ∈ K(R n ), conv S est compact donc fermé).
2 ◦ ) Ce qu’il faut démontrer est l’inclusion :
n(conv B) + conv B ⊂ n(conv B) + B.
Soit C := convB et désignons par ext C l’ensemble des points extrémaux de
C. Comme C := conv(ext C) et C ⊂ R n , tout c ∈ C peut s’écrire comme
combinaison convexe de n + 1 éléments de ext C :
c =
n+1
i=1
α i x i , avec (α 1 , . . . , α n+1 ) ∈ Δ n+1 (simplexe-unité de R n+1 ), x i ∈
ext C et α i 0 pour tout i.
L’un des α i est nécessairement supérieur ou égal à
1
n+1 ; sans perte de
généralité, on peut supposer qu’il s’agit de α 1 . Alors :
c =
1
n + 1
x 1 +
α 1 −
1
n + 1
x 1 +
n+1
i=2
α i x i
=
1
n + 1
x 1 +
n
n + 1
n+1
i=1
β i x i , où (β 1 , . . . , β n+1 ) ∈ Δ n+1 .
Par conséquent,
(n + 1)c = x 1 + n
n+1
i=1
β i x i
∈ ext C + nC.
Mais tout point extrémal de C = convB est nécessairement dans B (cf.
Exercice VI.4) ; donc, finalement, (n + 1)c ∈ B + n(convB).
Comme (n + 1)convB = n(convB) + convB (cela est dû à la convexité de
convB), on a bien démontré l’inclusion n(convB)+ convB ⊂ n( convB) + B.
Considérons B := {0, e 1 , . . . , e n }, où e i est le i me vecteur de la base canonique de R n , de sorte que
conv B =
(α 1 , . . . , α n ) ∈ R
n
|
n
i=1
α i 1 et α i 0 pour tout i
.
Alors, pour k < n, k(convB) + B est strictement contenu dans (k + 1)convB.
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