VI.3. Fonctions convexes
Pour démontrer ce résultat, on commence par montrer que Ω m est l’ensemble des matrices de la forme U diag(λ 1 , . . . , λ n )U , où U est orthogonale et
(λ 1 , . . . , λ n ) dans le polyèdre convexe compact Π m suivant :
Π m :=
(λ 1 , . . . , λ n ) ∈ R
n
|0 λ i 1 pour tout i = 1, . . . , n
et
n
i=1
λ i = m
.
La détermination des points extrémaux de Π m (cf. Exercice V.15) conduit
alors au résultat annoncé.
La fonction d’appui σ m de Ω m
A ∈ S n (R) −→ σ m (A) = max
M ∈Ωm
M, A
se trouve être
A −→ σ m (A) = somme des m plus grandes valeurs propres de A.
Cette formulation variationnelle est due à Ky Fan (1949).
*** Exercice VI.13. Soit K(R n ) l’ensemble des compacts non vides de R n .
1 ◦ ) Soient A, B, C dans K(R n ). Montrer que :
(A + B = A + C) ⇒ (conv B = conv C).
2 ◦ ) Soit B arbitraire dans K(R n ). Montrer que :
n(conv B) + B = n(conv B) + conv B.
Montrer sur un exemple que ce résultat ne saurait être vrai avec, au lieu de
n, un coefficient strictement inférieur à n.
3 ◦ ) Déduire de ce qui précède : Si B et C sont dans K(R n ),
∀A ∈ K(R n ),
(A + B = A + C) ⇒ (B = C)
⇔
B et C sont
convexes
.
Solution : 1 ◦ ) Les fonctions d’appui σ A , σ B et σ C de A, B et C sont des
fonctions convexes partout finies sur R n ; l’égalité A + B = A + C implique en
termes de fonctions d’appui :
σ A + σ B = σ A + σ C ,
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