Chapitre VI. Ensembles et fonctions convexes. Projection...
Comme Mx, x λ 1 (M ) 1 (λ 1 (M ) désignant la plus grande valeur propre de M ) et Nx, x λ 1 (N ) 1, il vient de (6.14) que
λ 1 (M ) = λ 1 (N ) = 1.
Puisque les valeurs propres de M (et de N ) sont positives et de somme
égale à 1, la seule possibilité pour M (et N ) est d’être de rang 1, M = uu
avec u = 1 (et N = vv , avec v = 1). Avec la 1 re ligne de (6.13), on
conclut ensuite à xx = uu = vv .
Commentaire :
– On aurait pu aussi démontrer que Ω 1 est l’ensemble des matrices de la forme
U diag(λ 1 , . . . , λ n )U , où U est orthogonale et (λ 1 , . . . , λ n ) dans le simplexe-unité
Λ n de R n . La recherche des points extrémaux de Ω 1 revient alors à celle des points
extrémaux de Λ n .
– Conséquence sur la formulation variationnelle usuelle de la plus grande valeur
propre d’une matrice symétrique réelle : Soient A ∈ S n (R) et λ 1 (A) sa plus grande
valeur propre ; alors
λ 1 (A) = max {{Ax, x | | x = 1} (classique, cf. Exercice III.4)
= max
A, xx
| | x = 1
= max {{{A, M | M ∈ Ω 1 } .
Prendre le max de A, ··· sur
xx | | x = 1
ou sur Ω 1 revient au même ;
λ 1 est en fait la fonction d’appui de Ω 1 . En somme, la formulation classique de
Rayleigh (1 re expression au-dessus) nous cache des choses (le plus grand ensemble
sur lequel le max de A, ··· est λ 1 (A) est Ω 1 ), mais dit l’essentiel (on prend le
max sur les points extrémaux de Ω 1 ).
– Prolongement de l’exercice avec la généralisation que voici.
Soit m un entier compris entre 1 et n, et soit
Ω m := {M ∈ P n (R) | trM = m et λ 1 (M ) 1} .
Dans la définition de Ω 1 , il n’était pas nécessaire de faire apparaître la
contrainte λ 1 (M ) 1 car elle était automatiquement vérifiée. Évidemment
Ω n = {I n } . Résultat général : Ω m est un convexe compact de S n (R) ; c’est l’enveloppe convexe des XX , X parcourant l’ensemble des matrices de format n × m
telles que X X = I m , ces dernières étant les points extrémaux de Ω m . En d’autres
termes : l’enveloppe convexe des matrices de projections orthogonales de rang m
est exactement l’ensemble des matrices symétriques dont les valeurs propres sont
entre 0 et 1 et dont la trace vaut m.
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Comme Mx, x λ 1 (M ) 1 (λ 1 (M ) désignant la plus grande valeur propre de M ) et Nx, x λ 1 (N ) 1, il vient de (6.14) que
λ 1 (M ) = λ 1 (N ) = 1.
Puisque les valeurs propres de M (et de N ) sont positives et de somme
égale à 1, la seule possibilité pour M (et N ) est d’être de rang 1, M = uu
avec u = 1 (et N = vv , avec v = 1). Avec la 1 re ligne de (6.13), on
conclut ensuite à xx = uu = vv .
Commentaire :
– On aurait pu aussi démontrer que Ω 1 est l’ensemble des matrices de la forme
U diag(λ 1 , . . . , λ n )U , où U est orthogonale et (λ 1 , . . . , λ n ) dans le simplexe-unité
Λ n de R n . La recherche des points extrémaux de Ω 1 revient alors à celle des points
extrémaux de Λ n .
– Conséquence sur la formulation variationnelle usuelle de la plus grande valeur
propre d’une matrice symétrique réelle : Soient A ∈ S n (R) et λ 1 (A) sa plus grande
valeur propre ; alors
λ 1 (A) = max {{Ax, x | | x = 1} (classique, cf. Exercice III.4)
= max
A, xx
| | x = 1
= max {{{A, M | M ∈ Ω 1 } .
Prendre le max de A, ··· sur
xx | | x = 1
ou sur Ω 1 revient au même ;
λ 1 est en fait la fonction d’appui de Ω 1 . En somme, la formulation classique de
Rayleigh (1 re expression au-dessus) nous cache des choses (le plus grand ensemble
sur lequel le max de A, ··· est λ 1 (A) est Ω 1 ), mais dit l’essentiel (on prend le
max sur les points extrémaux de Ω 1 ).
– Prolongement de l’exercice avec la généralisation que voici.
Soit m un entier compris entre 1 et n, et soit
Ω m := {M ∈ P n (R) | trM = m et λ 1 (M ) 1} .
Dans la définition de Ω 1 , il n’était pas nécessaire de faire apparaître la
contrainte λ 1 (M ) 1 car elle était automatiquement vérifiée. Évidemment
Ω n = {I n } . Résultat général : Ω m est un convexe compact de S n (R) ; c’est l’enveloppe convexe des XX , X parcourant l’ensemble des matrices de format n × m
telles que X X = I m , ces dernières étant les points extrémaux de Ω m . En d’autres
termes : l’enveloppe convexe des matrices de projections orthogonales de rang m
est exactement l’ensemble des matrices symétriques dont les valeurs propres sont
entre 0 et 1 et dont la trace vaut m.
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