VI.3. Fonctions convexes
Toute matrice de la forme xx , avec x = 1, est symétrique semi-définie
positive et de trace 1 (car tr(xx ) = x 2 ) ; par conséquent, toute combinaison convexe de telles matrices est dans Ω 1 .
Réciproquement, soit M ∈ Ω 1 . Par décomposition spectrale, on peut exprimer M sous la forme
M =
n
i=1
λ i x i x
i ,
(6.12)
où les x i sont des vecteurs unitaires de R n et les λ i les valeurs propres de M.
Mais ces valeurs propres sont positives et de somme égale à 1 ; ce qu’exprime (6.12) est donc que M est une combinaison convexe d’éléments de
xx | | x = 1
.
Visualisation géométrique de (6.11)
Figure 18.
D’après l’expression (6.11) de Ω 1 , les points extrémaux de Ω 1 figurent nécessairement parmi les matrices de la forme xx , où x = 1.
Réciproquement, soit xx avec x = 1 et montrons qu’il s’agit d’un
point extrémal de Ω 1 . Supposons que l’on ait la décomposition
xx = αM + (1 − α)N,
α ∈ ]0, 1[ ,
M et N dans Ω 1 ,
⎫
⎪ ⎬
⎪ ⎭
(6.13)
et montrons que cela conduit nécessairement à xx = M = N.
En faisant le produit scalaire ·, · · avec xx dans chaque membre de
la 1 re ligne de (6.13), on obtient
1 = α Mx, x + (1 − α) Nx, x .
(6.14)
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