Chapitre VI. Ensembles et fonctions convexes. Projection...
(convA + convB) est un convexe fermé dont la fonction d’appui est la
somme des fonctions d’appui de A et de B, soit
d ∈ R
n
−→ (σ A + σ B )(d) = sup
a∈A
a, d + sup
b∈B
b, d .
(6.10)
De l’égalité des fonctions de (6.9) et (6.10) découle l’égalité des convexes
fermés dont elles sont les fonctions d’appui.
Commentaire : Prolongement du (i) de l’exercice : Si S ⊂ R n et U : R n → R m
est une application affine, alors conv U (S) = U (conv S). Ceci, combiné au résultat
de l’Exercice 6.10 permet de retrouver (i).
** Exercice VI.12. Dans S n (R) structuré en espace euclidien grâce au produit
scalaire ·, ··· (rappel : A, B := tr(AB)), on considère l’ensemble suivant
Ω 1 := {M ∈ P n (R) | trM = 1} .
1 ◦ ) Montrer que Ω 1 est un convexe compact de S n (R).
2 ◦ ) Montrer que les points extrémaux de Ω 1 sont exactement les matrices
de la forme xx , où x est un vecteur unitaire de R n .
Solution : 1 ◦ ) Ω 1 est par définition l’intersection du cône convexe fermé P n (R)
avec l’hyperplan affine d’équation M, I n = 1 : c’est donc un convexe fermé.
Par ailleurs, si M ∈ S n (R) et si λ 1 , . . . , λ n désignent ses valeurs propres
M
2 := tr(M
2 ) =
n
i=1
λ
2
i
(d’accord ?).
Si à présent M ∈ Ω 1 , ses valeurs propres λ i sont toutes positives (puisque
M ∈ P n (R)) et inférieures à 1 (puisque
n
i=1
λ i = trM = 1). Par conséquent
M
2
n pour tout M ∈ Ω 1 .
Ω 1 est donc borné : c’est un convexe compact de S n (R).
2 ◦ ) Montrons que Ω 1 est l’enveloppe convexe des xx , où x est de norme 1 :
Ω 1 = conv
xx
| | x = 1
.
(6.11)
232