VI.3. Fonctions convexes
Mais (a i , b j ) ∈ A × B pour tout (i, j) et (λ 1 μ 1 , . . . , λ 1 μ q , λ 2 μ 1 ,
. . . , λ 2 μ q , . . . , λ p μ 1 , . . . , λ p μ q ) est dans le simplexe-unité de R pq (en effet tous
les coefficients λ i μ j sont positifs et
1 i p
1 j q
λ i μ j =
p
i=1
λ i
q
j=1
μ j
= 1).
Il résulte donc de (6.6) que (u, v) est bien dans conv(A × B).
** Exercice VI.11. Soient A et B deux parties (non vides) de R n . Montrer que :
(i) conv(A + B) = convA + convB ;
(ii) conv (A + B) = (conv A + conv B).
Solution : (i) A ⊂ convA, B ⊂ convB, et convA + convB est convexe
(somme de deux convexes). Par suite, conv(A + B) ⊂ convA + convB.
Démontrons l’inclusion réciproque. Soient u ∈ convA et v ∈ convB ; alors
il existe une expression de u et v comme en (6.5) . D’où
u + v =
p
i=1
λ i a i +
q
j=1
μ j b j .
(6.7)
Comme
p
i=1
λ i =
q
j=1
μ j = 1, il vient de la relation ci-dessus
u + v =
p
i=1
q
j=1
λ i μ j (a i + b j ).
(6.8)
Mais a i + b j ∈ A + B pour tout (i, j) et (λ i μ j ) 1 i p
1 j q
est dans le simplexeunité de R pq . Il en résulte avec (6.8) que u + v est bien dans conv(A + B).
(ii) Dès qu’il y a une enveloppe convexe fermée en jeu, il faut penser à
l’outil « fonction d’appui ».
conv(A + B) est un convexe fermé dont la fonction d’appui est celle de
A + B, soit
d ∈ R
n
−→ σ A+B (d) = sup
a ∈ A
b ∈ B
a + b, d .
(6.9)
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