Chapitre VI. Ensembles et fonctions convexes. Projection...
Remarque :
– Curieusement, l’équivalence ne s’étend pas au cas de plus de deux matrices
symétriques. Soient A, B 1 , . . . , B m des éléments de S n (R) : alors
(i) (B 1 x, x 0, . . . , B m x, x 0 et x = 0) ⇒ (Ax, x > 0)
et
(ii) Il existe μ 1 0, . . . , μ m 0 tels que A − μ 1 B 1 . . . − μ m B m soit définie
positive
ne sont pas des assertions équivalentes ; seule [(ii) ⇒ (i)] a lieu.
– Par une technique similaire à celle utilisée dans l’Exercice (on sépare (au
sens large) C et (R −
∗ ) 2 ), on démontre le résultat parent suivant : Soient A et B
deux éléments de S n (R) ; alors
(i) max {{Ax, x, Bx, x} 0 pour tout x ∈ R n
équivaut à
(ii) Il existe μ 1 0 et μ 2 0, non tous deux nuls, tels que μ 1 A + μ 2 B soit
semi-définie positive.
* Exercice VI.10. Montrer que conv(A × B) = (convA) × (convB).
Solution : A ⊂ convA, B ⊂ convB, et (convA) × (convB) est convexe (produit cartésien de deux convexes). Par conséquent, conv(A × B) ⊂ (convA) ×
(convB).
Démontrons l’inclusion réciproque. Soient u ∈ convA et v ∈ convB ; alors
il existe
– des entiers non nuls p et q,
– des éléments a 1 , . . . , a p de A et des éléments b 1 , . . . , b q de B,
– (λ 1 , . . . , λ p ) dans le simplexe-unité de R p ,
– (μ 1 , . . . , μ q ) dans le simplexe unité de R q ,
⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎬
⎪ ⎪ ⎪ ⎭
(6.4)
tels que :
u =
p
i=1
λ i a i , v =
q
j=1
μ j b j .
(6.5)
D’où
(u, v) =
p
i=1
q
j=1
λ i μ j (a i , b j ).
(6.6)
230
Remarque :
– Curieusement, l’équivalence ne s’étend pas au cas de plus de deux matrices
symétriques. Soient A, B 1 , . . . , B m des éléments de S n (R) : alors
(i) (B 1 x, x 0, . . . , B m x, x 0 et x = 0) ⇒ (Ax, x > 0)
et
(ii) Il existe μ 1 0, . . . , μ m 0 tels que A − μ 1 B 1 . . . − μ m B m soit définie
positive
ne sont pas des assertions équivalentes ; seule [(ii) ⇒ (i)] a lieu.
– Par une technique similaire à celle utilisée dans l’Exercice (on sépare (au
sens large) C et (R −
∗ ) 2 ), on démontre le résultat parent suivant : Soient A et B
deux éléments de S n (R) ; alors
(i) max {{Ax, x, Bx, x} 0 pour tout x ∈ R n
équivaut à
(ii) Il existe μ 1 0 et μ 2 0, non tous deux nuls, tels que μ 1 A + μ 2 B soit
semi-définie positive.
* Exercice VI.10. Montrer que conv(A × B) = (convA) × (convB).
Solution : A ⊂ convA, B ⊂ convB, et (convA) × (convB) est convexe (produit cartésien de deux convexes). Par conséquent, conv(A × B) ⊂ (convA) ×
(convB).
Démontrons l’inclusion réciproque. Soient u ∈ convA et v ∈ convB ; alors
il existe
– des entiers non nuls p et q,
– des éléments a 1 , . . . , a p de A et des éléments b 1 , . . . , b q de B,
– (λ 1 , . . . , λ p ) dans le simplexe-unité de R p ,
– (μ 1 , . . . , μ q ) dans le simplexe unité de R q ,
⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎬
⎪ ⎪ ⎪ ⎭
(6.4)
tels que :
u =
p
i=1
λ i a i , v =
q
j=1
μ j b j .
(6.5)
D’où
(u, v) =
p
i=1
q
j=1
λ i μ j (a i , b j ).
(6.6)
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