VI.3. Fonctions convexes
On peut donc séparer strictement le convexe compact C du convexe fermé
R − × R + : il existe s = (s 1 , s 2 ) = (0, 0), r ∈ R, tels que
s, x = s 1 x 1 + s 2 x 2 > r pour tout x = (x 1 , x 2 ) ∈ C
(6.2)
et
s 1 x 1 + s 2 x 2 < r pour tout x = (x 1 , x 2 ) ∈ R
−
× R
+ .
(6.3)
En faisant (x 1 , x 2 ) = (0, 0) dans (6.3), il vient que r > 0. De plus, comme
(tx 1 , tx 2 ) ∈ R − × R + dès que (x 1 , x 2 ) ∈ R − × R + et avec t > 0 arbitrairement
grand, il résulte de (6.3) : s 1 0, s 2 0.
Figure 17.
On ne peut avoir s 1 = 0. En effet, si tel était le cas, s 2 serait < 0 et (6.2)
impliquerait
Bx, x <
r
s 2
pour tout x de norme 1,
ce qui est contraire à l’hypothèse faite sur B.
Par suite,
x 1 +
s 2
s 1
x 2 >
r
s 1
pour tout (x 1 , x 2 ) ∈ C,
soit encore
Ax, x +
s 2
s 1
Bx, x >
r
s 1
pour tout x de norme 1.
L’assertion (ii) est ainsi démontrée.
229
On peut donc séparer strictement le convexe compact C du convexe fermé
R − × R + : il existe s = (s 1 , s 2 ) = (0, 0), r ∈ R, tels que
s, x = s 1 x 1 + s 2 x 2 > r pour tout x = (x 1 , x 2 ) ∈ C
(6.2)
et
s 1 x 1 + s 2 x 2 < r pour tout x = (x 1 , x 2 ) ∈ R
−
× R
+ .
(6.3)
En faisant (x 1 , x 2 ) = (0, 0) dans (6.3), il vient que r > 0. De plus, comme
(tx 1 , tx 2 ) ∈ R − × R + dès que (x 1 , x 2 ) ∈ R − × R + et avec t > 0 arbitrairement
grand, il résulte de (6.3) : s 1 0, s 2 0.
Figure 17.
On ne peut avoir s 1 = 0. En effet, si tel était le cas, s 2 serait < 0 et (6.2)
impliquerait
Bx, x <
r
s 2
pour tout x de norme 1,
ce qui est contraire à l’hypothèse faite sur B.
Par suite,
x 1 +
s 2
s 1
x 2 >
r
s 1
pour tout (x 1 , x 2 ) ∈ C,
soit encore
Ax, x +
s 2
s 1
Bx, x >
r
s 1
pour tout x de norme 1.
L’assertion (ii) est ainsi démontrée.
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