Chapitre VI. Ensembles et fonctions convexes. Projection...
2 ◦ ) (α) Si K = R n , alors K ◦ = {0} ; on a donc l’équivalence des énoncés
suivants :
(i) ∃ d 0 ∈ R n tel que a i , d 0 < 0 pour tout i = 1, . . . , k ;
(ii) 0 /
∈ conv{a 1 , . . . , a k } .
(β) Si K = {d ∈ R n | |v i , d = 0 pour tout i = 1, . . . , m}, alors K ◦ =
K ⊥ = vect {v 1 , . . . , v m } . Il y a donc équivalence des énoncés suivants :
(i) ∃ d 0 ∈ R n tel que v i , d 0 = 0 pour tout i = 1, . . . , m et a i , d 0 < 0
pour tout i = 1, . . . , k ;
(ii) conv{a 1 , . . . , a k } ∩ vect{v 1 , . . . , v m } = ∅.
Commentaire : – L’équivalence provenant de l’application (α) de la 2 e question
constitue le lemme de Gordan (1873) ; ce lemme appartient au « royaume des
polyèdres convexes » et peut être démontré avec les résultats et techniques du
Chapitre 5 ; il sera « revisité » dans l’Exercice VII.1.
– L’équivalence provenant de l’application (β) de la 2 e question montre bien
la différence entre les conditions de qualification de contraintes (QC) x et (QC)
x
utilisées dans les problèmes de minimisation avec contraintes décrites avec des
égalités et inégalités (cf. Chapitre 3). En particulier elle indique clairement que
(QC)
x implique (QC) x .
*** Exercice VI.9. Soient A et B deux éléments de S n (R), n ≥ 3, On suppose
que B n’est pas définie négative. Montrer l’équivalence des deux assertions suivantes :
(i) (Bx, x 0 et x = 0) ⇒ (Ax, x > 0) ;
(ii) Il existe μ 0 tel que A − μB soit définie positive.
Commentaire : Résultat à rapprocher du résultat de l’Exercice I.16 qu’il étend.
Indication. On admettra que l’ensemble C := {(Ax, x , Bx, x) | | x = 1} est
un convexe de R 2 . Pour [(i) ⇒ (ii)], penser à séparer strictement C de R − × R + .
Solution : [(ii) ⇒ (i)]. Immédiat.
[(i) ⇒ (ii)]. L’ensemble C défini ci-dessus est un convexe compact de R 2 .
Observons que C ne rencontre pas R − × R + . En effet, avoir
Ax, x 0 et Bx, x 0 pour un certain x de norme 1
est impossible d’après (i).
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2 ◦ ) (α) Si K = R n , alors K ◦ = {0} ; on a donc l’équivalence des énoncés
suivants :
(i) ∃ d 0 ∈ R n tel que a i , d 0 < 0 pour tout i = 1, . . . , k ;
(ii) 0 /
∈ conv{a 1 , . . . , a k } .
(β) Si K = {d ∈ R n | |v i , d = 0 pour tout i = 1, . . . , m}, alors K ◦ =
K ⊥ = vect {v 1 , . . . , v m } . Il y a donc équivalence des énoncés suivants :
(i) ∃ d 0 ∈ R n tel que v i , d 0 = 0 pour tout i = 1, . . . , m et a i , d 0 < 0
pour tout i = 1, . . . , k ;
(ii) conv{a 1 , . . . , a k } ∩ vect{v 1 , . . . , v m } = ∅.
Commentaire : – L’équivalence provenant de l’application (α) de la 2 e question
constitue le lemme de Gordan (1873) ; ce lemme appartient au « royaume des
polyèdres convexes » et peut être démontré avec les résultats et techniques du
Chapitre 5 ; il sera « revisité » dans l’Exercice VII.1.
– L’équivalence provenant de l’application (β) de la 2 e question montre bien
la différence entre les conditions de qualification de contraintes (QC) x et (QC)
x
utilisées dans les problèmes de minimisation avec contraintes décrites avec des
égalités et inégalités (cf. Chapitre 3). En particulier elle indique clairement que
(QC)
x implique (QC) x .
*** Exercice VI.9. Soient A et B deux éléments de S n (R), n ≥ 3, On suppose
que B n’est pas définie négative. Montrer l’équivalence des deux assertions suivantes :
(i) (Bx, x 0 et x = 0) ⇒ (Ax, x > 0) ;
(ii) Il existe μ 0 tel que A − μB soit définie positive.
Commentaire : Résultat à rapprocher du résultat de l’Exercice I.16 qu’il étend.
Indication. On admettra que l’ensemble C := {(Ax, x , Bx, x) | | x = 1} est
un convexe de R 2 . Pour [(i) ⇒ (ii)], penser à séparer strictement C de R − × R + .
Solution : [(ii) ⇒ (i)]. Immédiat.
[(i) ⇒ (ii)]. L’ensemble C défini ci-dessus est un convexe compact de R 2 .
Observons que C ne rencontre pas R − × R + . En effet, avoir
Ax, x 0 et Bx, x 0 pour un certain x de norme 1
est impossible d’après (i).
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