VI.3. Fonctions convexes
Solution :
1 ◦ ) [(i) ⇒ (ii)]. Considérons un élément quelconque de
conv{a 1 , . . . , a k }, c’est-à-dire un élément de la forme
k
i=1
α i a i , où (α 1 , . . . , α k ) ∈
Δ k (simplexe-unité de R k ). Il découle de (i) : d 0 ∈ K et
−
k
i=1
α i a i , d 0
=
k
i=1
α i (− −a i , d 0 ) > 0 ;
donc −
k
i=1
α i a i n’est pas dans K ◦ .
[non(i) ⇒ non(ii)]. Puisque K est convexe et que l’application
d ∈ R n −→ (d, a 1 , . . . , d, a k ) ∈ R k est linéaire, l’ensemble C 2 :=
{(d, a 1 , . . . , d, a k ) | d ∈ K} est un convexe de R k .
Ce qu’exprime non(i) est exactement (R −
∗ ) k ∩ C 2 = ∅. Si tel est le
cas, il existe un hyperplan affine qui sépare (R −
∗ ) k et C 2 , i.e. un vecteur
s = (s 1 , . . . s k ) = 0 de R k tel que :
s, x 1 s, x 2 pour tout x 1 ∈ (R
−
∗ )
k et tout x 2 ∈ C 2 .
(S)
Puisque (R − ) k est l’adhérence de (R −
∗ ) k , l’inégalité (S) reste vraie pour tout
x 1 ∈ (R − ) k et tout x 2 ∈ C 2 . Prenons x 2 = 0 (qui est dans C 2 ) dans cette
inégalité, il s’ensuit :
s, x 1 0 pour tout x 1 ∈ (R
− )
k ,
d’où s ∈ (R + ) k (d’accord ?). Ainsi s i 0 pour tout i = 1, . . . , k.
Faisons x 1 = 0 dans l’inégalité (S) (prolongée) ; on a alors :
s, x 2 =
k
i=1
s i d, a i =
k
i=1
s i a i , d
0 pour tout d ∈ K,
autrement dit : −
k
i=1
s i a i ∈ K ◦ .
En résumé : si (i) n’a pas lieu, il existe des réels s 1 0, . . . , s k 0 non tous
nuls tels que −
k
i=1
s i a i ∈ K ◦ . En posant α i := s i /(
k
i=1
s i ) pour tout i = 1, . . . , k,
de manière à avoir (α 1 , . . . , α k ) ∈ Δ k , on obtient que
k
i=1
α i a i ∈ conv {a 1 , . . . , a k } ∩ (−K
◦ ).
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