Chapitre VI. Ensembles et fonctions convexes. Projection...
Solution : Aucune en général.
Figure 16.
Dans l’exemple ci-contre, A est
l’opérateur de projection sur l’axe
des x. On note que
A(ext C) est tout le segment [a, b]
tandis que
ext (A(C)) = {a, b}.
Si, à présent, C est la bande [a, b] × R de R 2 , on a toujours A(C) = [a, b]
et donc ext(A(C)) = {a, b} , mais ext C = φ.
Toutefois, si A est injective et si x est un point extrémal de C, alors
y = A(x) est un point extrémal de A(C). En effet, avoir
A(x) = αA(x 1 ) + (1 − α)A(x 2 ) avec
x 1 , x 2 ∈ C, A(x 1 ) = A(x 2 ) et α ∈ ]0, 1[
est impossible puisque αA(x 1 ) + (1 − α)A(x 2 ) = A(αx 1 + (1 − α)x 2 ) = A(x)
implique x = αx 1 + (1 − α)x 2 , et que cette dernière décomposition contredit
le caractère extrémal de x dans C.
** Exercice VI.8. Soient k éléments a 1 , . . . , a k de R n et K un cône convexe fermé
de R n .
1 ◦ ) Montrer l’équivalence des deux affirmations ci-dessous :
(i) Il existe d 0 ∈ K tel que a i , d 0 < 0 pour tout i = 1, . . . , k ;
(ii) conv{a 1 , . . . , a k } ∩ (−K ◦ ) = ∅.
2 ◦ ) Applications :
Traduire l’équivalence démontrée dans les cas particuliers suivants :
(α) K = R n ;
(β) K = {d ∈ R n | |v i , d = 0 pour tout i = 1, . . . , m}, où v 1 , . . . , v m sont m
vecteurs donnés de R n .
Indication. Dans la 1 re question on montrera successivement
[(i) ⇒ (ii)] et [non(i) ⇒ non(ii)] ; pour cette deuxième implication, on pourra
séparer (au sens large) les convexes {(d, a 1 , . . . , d, a k ) | d ∈ K} et (R −
∗ ) k .
226
Solution : Aucune en général.
Figure 16.
Dans l’exemple ci-contre, A est
l’opérateur de projection sur l’axe
des x. On note que
A(ext C) est tout le segment [a, b]
tandis que
ext (A(C)) = {a, b}.
Si, à présent, C est la bande [a, b] × R de R 2 , on a toujours A(C) = [a, b]
et donc ext(A(C)) = {a, b} , mais ext C = φ.
Toutefois, si A est injective et si x est un point extrémal de C, alors
y = A(x) est un point extrémal de A(C). En effet, avoir
A(x) = αA(x 1 ) + (1 − α)A(x 2 ) avec
x 1 , x 2 ∈ C, A(x 1 ) = A(x 2 ) et α ∈ ]0, 1[
est impossible puisque αA(x 1 ) + (1 − α)A(x 2 ) = A(αx 1 + (1 − α)x 2 ) = A(x)
implique x = αx 1 + (1 − α)x 2 , et que cette dernière décomposition contredit
le caractère extrémal de x dans C.
** Exercice VI.8. Soient k éléments a 1 , . . . , a k de R n et K un cône convexe fermé
de R n .
1 ◦ ) Montrer l’équivalence des deux affirmations ci-dessous :
(i) Il existe d 0 ∈ K tel que a i , d 0 < 0 pour tout i = 1, . . . , k ;
(ii) conv{a 1 , . . . , a k } ∩ (−K ◦ ) = ∅.
2 ◦ ) Applications :
Traduire l’équivalence démontrée dans les cas particuliers suivants :
(α) K = R n ;
(β) K = {d ∈ R n | |v i , d = 0 pour tout i = 1, . . . , m}, où v 1 , . . . , v m sont m
vecteurs donnés de R n .
Indication. Dans la 1 re question on montrera successivement
[(i) ⇒ (ii)] et [non(i) ⇒ non(ii)] ; pour cette deuxième implication, on pourra
séparer (au sens large) les convexes {(d, a 1 , . . . , d, a k ) | d ∈ K} et (R −
∗ ) k .
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