VI.3. Fonctions convexes
** Exercice VI.6. On considère dans R n les deux boules suivantes :
B 1 :=
x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ R n |
n
i=1
|x i | 1
,
B ∞ := {x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ R n | max i=1,...,n |x i | 1} .
Quels sont les points extrémaux de B 1 ? de B ∞ ?
Solution : Désignons par e 1 , . . . , e n les n éléments de la base canonique de R n .
L’ensemble B 1 peut être vu comme l’enveloppe convexe des 2n éléments
e 1 , −e 1 , . . . , e i , −e i , . . . , e n , −e n ; de plus chacun de ces e i ou −e i est un point
extrémal de B 1 (d’accord ?). En somme, les points extrémaux (ou sommets)
de B 1 sont exactement : e 1 , −e 1 , . . . , e n , −e n .
La structure de produit cartésien de B ∞ = [−1, +1]
n facilite la détermination de ses points extrémaux. En effet, il résulte de la définition même de point
extrémal que ext(C 1 × C 2 ) = (extC 1 ) × (extC 2 ). En conséquence, les points
extrémaux de B ∞ sont les 2 n points x = (x 1 , . . . , x n ), où x i ∈ {−1, +1} pour
tout i = 1, . . . , n.
Il y a donc une différence notable entre B 1 et B ∞ , différence qui ne se
voit pas pour n = 1 ou 2. Lorsque n croît, le nombre de points extrémaux
de B 1 croît de manière linéaire (en passant de R n à R n+1 on ajoute en fait
2 nouveaux points extrémaux), tandis que le nombre de points extrémaux de
B ∞ croît exponentiellement (en passant de R n à R n+1 , on reproduit 2 copies
des points extrémaux précédents).
· dans R 2 , reproduits dans R 3
• ajout dans R 3
· dans R 2 ,
• dans R 3 , 2 copies de ·
Figure 15.
** Exercice VI.7. Soit C un convexe de R n et A : R n → R m une application
affine. Quelle relation y a-t-il entre les points extrémaux de A(C) et l’image par
A de l’ensemble des points extrémaux de C ?
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** Exercice VI.6. On considère dans R n les deux boules suivantes :
B 1 :=
x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ R n |
n
i=1
|x i | 1
,
B ∞ := {x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ R n | max i=1,...,n |x i | 1} .
Quels sont les points extrémaux de B 1 ? de B ∞ ?
Solution : Désignons par e 1 , . . . , e n les n éléments de la base canonique de R n .
L’ensemble B 1 peut être vu comme l’enveloppe convexe des 2n éléments
e 1 , −e 1 , . . . , e i , −e i , . . . , e n , −e n ; de plus chacun de ces e i ou −e i est un point
extrémal de B 1 (d’accord ?). En somme, les points extrémaux (ou sommets)
de B 1 sont exactement : e 1 , −e 1 , . . . , e n , −e n .
La structure de produit cartésien de B ∞ = [−1, +1]
n facilite la détermination de ses points extrémaux. En effet, il résulte de la définition même de point
extrémal que ext(C 1 × C 2 ) = (extC 1 ) × (extC 2 ). En conséquence, les points
extrémaux de B ∞ sont les 2 n points x = (x 1 , . . . , x n ), où x i ∈ {−1, +1} pour
tout i = 1, . . . , n.
Il y a donc une différence notable entre B 1 et B ∞ , différence qui ne se
voit pas pour n = 1 ou 2. Lorsque n croît, le nombre de points extrémaux
de B 1 croît de manière linéaire (en passant de R n à R n+1 on ajoute en fait
2 nouveaux points extrémaux), tandis que le nombre de points extrémaux de
B ∞ croît exponentiellement (en passant de R n à R n+1 , on reproduit 2 copies
des points extrémaux précédents).
· dans R 2 , reproduits dans R 3
• ajout dans R 3
· dans R 2 ,
• dans R 3 , 2 copies de ·
Figure 15.
** Exercice VI.7. Soit C un convexe de R n et A : R n → R m une application
affine. Quelle relation y a-t-il entre les points extrémaux de A(C) et l’image par
A de l’ensemble des points extrémaux de C ?
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