Chapitre VI. Ensembles et fonctions convexes. Projection...
À titre d’exemple, soit S = {x 1 , . . . , x k } . Alors tout point extrémal du
polyèdre convexe compact C := conv S est nécessairement l’un des points x i .
Ce cas particulier a déjà été vu à l’Exercice V.7.
Le résultat de l’exercice est important et sera utilisé à plusieurs reprises
par la suite.
** Exercice VI.5. Soit C un convexe. Montrer que x ∈ C est un point extrémal
de C si, et seulement si, C \ {x} est convexe.
A-t-on une caractérisation similaire pour une face de C ?
Solution : Soit x un point extrémal de C. Considérons deux points distincts
y et z de C \ {x} et α ∈ ]0, 1[ ; nous devons montrer que u := αy + (1 − α)z ∈
C \ {x} .
Par la convexité de C, le point u est dans C ; mais il est différent de x car
u ∈ C, u = x = αy + (1 − α)z avec y et z dans C, y = z, et α ∈ ]0, 1[
viendrait à contredire le caractère extrémal de x dans C. Donc u est bien dans
C \ {x} .
Réciproquement, supposons C \{x} convexe et montrons que x est un point
extrémal de C. Supposons qu’on puisse écrire x sous la forme
x =
1
2
(y + z) avec y et z dans C, y = z.
(6.1)
Alors y et z sont différents de x nécessairement ; mais par la convexité de
C \ {x} , cela entraîne que
1
2 y +
1
2 z ∈ C \ {x} . D’où contradiction avec (6.1) .
En conséquence, une décomposition de x comme dans (6.1) est impossible :
x est un point extrémal de C.
En ce qui concerne les faces de C, l’implication suivante est une généralisation naturelle de ce qui a été établi pour les points extrémaux de C :
(F face de C) ⇒ (C \ F est convexe).
Mais la réciproque est fausse. Pour voir cela, prendre par exemple un triangle C de R 2 et considérer une moitié F de C.
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À titre d’exemple, soit S = {x 1 , . . . , x k } . Alors tout point extrémal du
polyèdre convexe compact C := conv S est nécessairement l’un des points x i .
Ce cas particulier a déjà été vu à l’Exercice V.7.
Le résultat de l’exercice est important et sera utilisé à plusieurs reprises
par la suite.
** Exercice VI.5. Soit C un convexe. Montrer que x ∈ C est un point extrémal
de C si, et seulement si, C \ {x} est convexe.
A-t-on une caractérisation similaire pour une face de C ?
Solution : Soit x un point extrémal de C. Considérons deux points distincts
y et z de C \ {x} et α ∈ ]0, 1[ ; nous devons montrer que u := αy + (1 − α)z ∈
C \ {x} .
Par la convexité de C, le point u est dans C ; mais il est différent de x car
u ∈ C, u = x = αy + (1 − α)z avec y et z dans C, y = z, et α ∈ ]0, 1[
viendrait à contredire le caractère extrémal de x dans C. Donc u est bien dans
C \ {x} .
Réciproquement, supposons C \{x} convexe et montrons que x est un point
extrémal de C. Supposons qu’on puisse écrire x sous la forme
x =
1
2
(y + z) avec y et z dans C, y = z.
(6.1)
Alors y et z sont différents de x nécessairement ; mais par la convexité de
C \ {x} , cela entraîne que
1
2 y +
1
2 z ∈ C \ {x} . D’où contradiction avec (6.1) .
En conséquence, une décomposition de x comme dans (6.1) est impossible :
x est un point extrémal de C.
En ce qui concerne les faces de C, l’implication suivante est une généralisation naturelle de ce qui a été établi pour les points extrémaux de C :
(F face de C) ⇒ (C \ F est convexe).
Mais la réciproque est fausse. Pour voir cela, prendre par exemple un triangle C de R 2 et considérer une moitié F de C.
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