VI.3. Fonctions convexes
Solution : C ∩ H est un convexe compact ; il a donc des points extrémaux.
Mais si x est un point extrémal de C ∩ H, il est aussi point extrémal de C. En
effet, supposons que x = αy + (1 − α)z avec y, z dans C et α ∈ ]0, 1[. Puisque
H est un hyperplan d’appui à C en x, mettons d’équation s, x = r, on a :
s, x = r, s, y r, s, z r.
Par suite,
0 = r − −s, x = α [r − −s, y] + (1 − α) [r − −s, z] ,
d’où s, y = s, z = r. Ainsi y et z se trouvent aussi dans H. Mais alors le
caractère extrémal de x dans C ∩ H fait que x = y = z. Le point x est donc
extrémal dans C.
En conclusion, C ∩ H contient bien des points extrémaux de C.
** Exercice VI.4. Soit C le convexe défini comme étant l’enveloppe convexe
de S : C = conv S.
Montrer que tout point extrémal de C est nécessairement dans S.
Solution : Soit x un point extrémal de C et supposons qu’il ne soit pas dans S.
Comme C = conv S, il existe une représentation de x sous la forme
x =
k
i=1
α i x i , avec x 1 , . . . , x k dans S et (α 1 , . . . , α k ) dans le simplexe-unité
de R k .
Puisque x /
∈ S, on a nécessairement k 2. On peut supposer, sans perte
de généralité, que 0 < α k < 1. Ainsi
x = α k x k + (1 − α k )
k−1
i=1
α i
1 − α k
x i ,
où y := x k et z :=
k−1
i=1
α i
1−α k
x i sont des éléments de C différents (différents car,
sinon, x = x k , ce qui est impossible vu que x /
∈ S). La représentation de x
sous la forme
x = α k y + (1 − α k )z, avec y et z dans C, y = z et 0 < α k < 1,
entre alors en contradiction avec le caractère extrémal de x.
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