Chapitre VI. Ensembles et fonctions convexes. Projection...
* Exercice VI.2. Soient A 0 , A 1 , . . . , A m dans S n (R) et
A(x) := A 0 +
m
i=1
x i A i pour tout x = (x 1 , . . . , x m ) ∈ R
m .
On pose C := {x ∈ R m | A(x) est semi-définie positive}. Montrer que C est
convexe fermé.
Solution : – Vérification directe : toute combinaison convexe d’éléments de
C est dans C ; toute limite de suite d’éléments de C est encore dans C.
– Autre manière de faire. L’application
x = (x 1 , . . . , x m ) ∈ R
m
−→ A(x) = A 0 +
m
i=1
x i A i ∈ S n (R)
est affine, et C n’est autre que l’image inverse par cette application du cône
convexe fermé P n (R) .
Commentaire :
– Contrairement à ce qu’on peut imaginer au premier abord, C n’est pas
polyédrique. On peut aussi décrire C par la conjonction d’inégalités polynomiales
en x (tous les mineurs principaux d’ordre k de A(x), k = 1, . . . , n, doivent être
positifs).
– Le problème d’optimisation
(P)
Min c, x
A(x) semi-définie positive (x ∈ C)
est un problème-modèle très général ; s’y ramènent des problèmes classiques d’optimisation (optimisation quadratique, de valeurs propres, etc.) ou d’ingénierie
(théorie et commande des systèmes).
** Exercice VI.3. Soient C un convexe compact de R n et H un hyperplan
d’appui à C. Montrer que H contient nécessairement des points extrémaux
de C.
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* Exercice VI.2. Soient A 0 , A 1 , . . . , A m dans S n (R) et
A(x) := A 0 +
m
i=1
x i A i pour tout x = (x 1 , . . . , x m ) ∈ R
m .
On pose C := {x ∈ R m | A(x) est semi-définie positive}. Montrer que C est
convexe fermé.
Solution : – Vérification directe : toute combinaison convexe d’éléments de
C est dans C ; toute limite de suite d’éléments de C est encore dans C.
– Autre manière de faire. L’application
x = (x 1 , . . . , x m ) ∈ R
m
−→ A(x) = A 0 +
m
i=1
x i A i ∈ S n (R)
est affine, et C n’est autre que l’image inverse par cette application du cône
convexe fermé P n (R) .
Commentaire :
– Contrairement à ce qu’on peut imaginer au premier abord, C n’est pas
polyédrique. On peut aussi décrire C par la conjonction d’inégalités polynomiales
en x (tous les mineurs principaux d’ordre k de A(x), k = 1, . . . , n, doivent être
positifs).
– Le problème d’optimisation
(P)
Min c, x
A(x) semi-définie positive (x ∈ C)
est un problème-modèle très général ; s’y ramènent des problèmes classiques d’optimisation (optimisation quadratique, de valeurs propres, etc.) ou d’ingénierie
(théorie et commande des systèmes).
** Exercice VI.3. Soient C un convexe compact de R n et H un hyperplan
d’appui à C. Montrer que H contient nécessairement des points extrémaux
de C.
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