VI.3. Fonctions convexes
– Stabilité de la convexité par certaines opérations sur les fonctions :
– Si f 1 et f 2 sont convexes sur C, il en est de même de f 1 + f 2 ;
– Si (f i ) i∈I est une collection de fonctions convexes sur C, alors sup i∈I f i
est encore convexe sur C.
– Exemples de fonctions convexes :
– Si · · est une norme sur R n et C un convexe de R n , alors la fonctiondistance
d C : x ∈ R
n
−→ d C (x) := inf {{ x − c , c ∈ C}
est convexe sur R n .
– Si f : x ∈ R +
∗ −→ f (x) est convexe sur R ∗
+ , il en est de même de la
fonction
g : x ∈ R
+
∗ −→ g(x) := xf
1
x
.
Références. Chapitres III et IV de [12].
* Exercice VI.1. Soit S ⊂ R n vérifiant la propriété de « demi-somme » suivante :
(x ∈ S, y ∈ S) ⇒
x + y
2
∈ S
.
1 ◦ ) S est-il convexe ?
2 ◦ ) Même question si l’on suppose S fermé.
Solution : 1 ◦ ) Non. Il suffit pour le voir de prendre pour S l’ensemble des
rationnels compris entre 0 et 1.
2 ◦ ) Oui si S est fermé.
Prenons x 1 et x 2 dans S et considérons x ∈ [x 1 , x 2 ] := {(1 − t)x 1 + tx 2 |
0 t 1} .
On prend des deux segments
x 1 ,
x 1 +x 2
2
,
x 1 +x 2
2 , x 2
celui qui contient x,
et on le note
x
(1)
1 , x
(2)
2
. On réitère le processus de manière à obtenir :
x ∈ . . .
x
(k)
1 , x
(k)
2
⊂ . . . ⊂ [x 1 , x 2 ] ,
lim
k→+∞
x
(k)
1 = lim
k→+∞
x
(k)
2 = x.
Mais grâce à la propriété de « demi-somme » de S, toutes les extrémités
x
(k)
1 , x
(k)
2 sont dans S. Le caractère fermé de S fait qu’ensuite la limite x est
dans S.
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