Chapitre VI. Ensembles et fonctions convexes. Projection...
VI.2. Projection sur un convexe fermé
Soit C un convexe fermé non vide de R n . Pour tout x ∈ R n , il existe un et un
seul élément dans C à distance (euclidienne) minimale de x ; cet élément s’appelle
la projection de x sur C et est noté p C (x) :
p C (x) ∈ C,
p C (x) − x c − x pour tout c ∈ C.
Caractérisation de p C (x) (cf. Chapitre 3) : x ∈ C est p C (x) si, et seulement si,
x − x, c − x 0 pour tout c ∈ C.
Dans le cas où C est un cône convexe fermé, la caractérisation ci-dessus se
simplifie quelque peu : Soit K un cône convexe fermé de R n et K ◦ son cône
polaire ; alors x ∈ K est p K (x) si, et seulement si,
x − x ∈ K
◦ et x − x, x = 0.
Une propriété fondamentale de l’application p C : R n → C ⊂ R n est comme
suit :
p C (x 1 ) − p C (x 2 )
2
p C (x 1 ) − p C (x 2 ), x 1 − x 2
pour tout x 1 et x 2 dans R n .
Il en découle notamment :
p C (x 1 ) − p C (x 2 ) x 1 − x 2 pour tout x 1 et x 2 dans R
n .
VI.3. Fonctions convexes
Soit C un convexe de R n et f : C → R ; les définitions de « f est convexe sur
C » et de « f est strictement convexe sur C » ont été rappelées au Chapitre 1.
Quelques rappels supplémentaires :
– Inégalité de Jensen
Soient C ⊂ R n convexe et f : C → R convexe. Alors, pour toute collection
{x 1 , . . . , x k } de points de C et tout α = (α 1 , . . . , α k ) dans le simplexe-unité de
R k , on a l’inégalité suivante :
f
k
i=1
α i x i
k
i=1
α i f (x i ).
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VI.2. Projection sur un convexe fermé
Soit C un convexe fermé non vide de R n . Pour tout x ∈ R n , il existe un et un
seul élément dans C à distance (euclidienne) minimale de x ; cet élément s’appelle
la projection de x sur C et est noté p C (x) :
p C (x) ∈ C,
p C (x) − x c − x pour tout c ∈ C.
Caractérisation de p C (x) (cf. Chapitre 3) : x ∈ C est p C (x) si, et seulement si,
x − x, c − x 0 pour tout c ∈ C.
Dans le cas où C est un cône convexe fermé, la caractérisation ci-dessus se
simplifie quelque peu : Soit K un cône convexe fermé de R n et K ◦ son cône
polaire ; alors x ∈ K est p K (x) si, et seulement si,
x − x ∈ K
◦ et x − x, x = 0.
Une propriété fondamentale de l’application p C : R n → C ⊂ R n est comme
suit :
p C (x 1 ) − p C (x 2 )
2
p C (x 1 ) − p C (x 2 ), x 1 − x 2
pour tout x 1 et x 2 dans R n .
Il en découle notamment :
p C (x 1 ) − p C (x 2 ) x 1 − x 2 pour tout x 1 et x 2 dans R
n .
VI.3. Fonctions convexes
Soit C un convexe de R n et f : C → R ; les définitions de « f est convexe sur
C » et de « f est strictement convexe sur C » ont été rappelées au Chapitre 1.
Quelques rappels supplémentaires :
– Inégalité de Jensen
Soient C ⊂ R n convexe et f : C → R convexe. Alors, pour toute collection
{x 1 , . . . , x k } de points de C et tout α = (α 1 , . . . , α k ) dans le simplexe-unité de
R k , on a l’inégalité suivante :
f
k
i=1
α i x i
k
i=1
α i f (x i ).
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