VI.1. Ensembles convexes
VI.1.3. Hyperplan d’appui, fonction d’appui
Un hyperplan affine de R n , d’équation s, x = r, est appelé hyperplan d’appui
au convexe C en x ∈ C lorsque
s, x = r et s, x r pour tout x ∈ C.
Résultat important : Si C est convexe et si x ∈ fr C, alors il y a (au moins) un
hyperplan d’appui à C en x.
Soit φ = S ⊂ R n . On appelle fonction d’appui de S, et on note σ S , la fonction
σ S : R n → R ∪ {+∞} définie de la manière suivante :
d ∈ R
n
−→ σ S (d) := sup
s∈S
s, d .
σ S est partout finie sur R n si, et seulement si, S est borné.
Une fonction d’appui ne sait pas distinguer S de son enveloppe convexe fermée : σ S = σ conv S .
On peut voir conv S à partir de S – ou plutôt à partir de σ S – de la manière
suivante :
(s ∈ conv S) ⇔ (s, d σ S (d) pour tout d ∈ R
n ).
Ceci est la version « fonctionnelle » du résultat « ensembliste » de description de
conv S suivant : conv S est l’intersection de tous les demi-espaces affines fermés
contenant S.
Une règle de calcul (parmi d’autres) concernant les fonctions d’appui : Si S 1
et S 2 sont deux parties non vides de R n , alors σ S 1 +S 2 = σ S 1 + σ S 2 .
VI.1.4. Théorèmes de séparation par un hyperplan affine
Th´ eor` eme de s´ eparation (au sens large). Si C 1 et C 2 sont deux convexes disjoints
de R n , il existe un hyperplan affine qui les sépare, i.e. un vecteur s = 0 de R n tel
que :
s, x 1 s, x 2 pour tout x 1 ∈ C 1 et tout x 2 ∈ C 2 .
Th´ eor` eme de s´ eparation (au sens strict). Si C 1 est un convexe fermé et C 2 un
convexe compact de R n , et s’ils sont disjoints, il existe un hyperplan affine qui
les sépare strictement, i.e. un vecteur s = 0 de R n et r ∈ R tels que :
s, x 1 < r pour tout x 1 ∈ C 1
et
s, x 2 > r pour tout x 2 ∈ C 2 .
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VI.1.3. Hyperplan d’appui, fonction d’appui
Un hyperplan affine de R n , d’équation s, x = r, est appelé hyperplan d’appui
au convexe C en x ∈ C lorsque
s, x = r et s, x r pour tout x ∈ C.
Résultat important : Si C est convexe et si x ∈ fr C, alors il y a (au moins) un
hyperplan d’appui à C en x.
Soit φ = S ⊂ R n . On appelle fonction d’appui de S, et on note σ S , la fonction
σ S : R n → R ∪ {+∞} définie de la manière suivante :
d ∈ R
n
−→ σ S (d) := sup
s∈S
s, d .
σ S est partout finie sur R n si, et seulement si, S est borné.
Une fonction d’appui ne sait pas distinguer S de son enveloppe convexe fermée : σ S = σ conv S .
On peut voir conv S à partir de S – ou plutôt à partir de σ S – de la manière
suivante :
(s ∈ conv S) ⇔ (s, d σ S (d) pour tout d ∈ R
n ).
Ceci est la version « fonctionnelle » du résultat « ensembliste » de description de
conv S suivant : conv S est l’intersection de tous les demi-espaces affines fermés
contenant S.
Une règle de calcul (parmi d’autres) concernant les fonctions d’appui : Si S 1
et S 2 sont deux parties non vides de R n , alors σ S 1 +S 2 = σ S 1 + σ S 2 .
VI.1.4. Théorèmes de séparation par un hyperplan affine
Th´ eor` eme de s´ eparation (au sens large). Si C 1 et C 2 sont deux convexes disjoints
de R n , il existe un hyperplan affine qui les sépare, i.e. un vecteur s = 0 de R n tel
que :
s, x 1 s, x 2 pour tout x 1 ∈ C 1 et tout x 2 ∈ C 2 .
Th´ eor` eme de s´ eparation (au sens strict). Si C 1 est un convexe fermé et C 2 un
convexe compact de R n , et s’ils sont disjoints, il existe un hyperplan affine qui
les sépare strictement, i.e. un vecteur s = 0 de R n et r ∈ R tels que :
s, x 1 < r pour tout x 1 ∈ C 1
et
s, x 2 > r pour tout x 2 ∈ C 2 .
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