Chapitre VI. Ensembles et fonctions convexes. Projection...
de C dans le sous-espace affine engendré par C est appelé l’intérieur relatif de C ;
il est noté ir C (ou int r C).
Chose extraordinaire : ir C = φ dès que (le convexe) C = φ.
– Une partie convexe F de C est appelée face (ou partie extrémale) de C
lorsque la propriété suivante est vérifiée :
(x 1 , x 2 ) ∈ C × C et
∃ α ∈ ]0, 1[ tel que αx 1 + (1 − α)x 2 ∈ F
⇒ [x 1 , x 2 ] ⊂ F.
Les faces exposées de C (cf. Chapitre 5) sont les exemples les plus importants
de faces de C ; toutefois une face de C n’est pas nécessairement une face exposée
de C.
Le cas « minimal » de face F est lorsque dim F = 0 ; alors F = {x} et on parle
plutôt de point extrémal x. En d’autres termes, x ∈ C est appelé point extrémal (1)
de C s’il n’est pas possible d’avoir x = αy + (1 − α)z avec y et z deux points
distincts de C et α ∈ ]0, 1[ . On note ext C l’ensemble des points extrémaux de C.
Propriété : Si C est un convexe compact de R n , alors ext C = φ.
VI.1.2. Enveloppe convexe, enveloppe convexe fermée
Soit S ⊂ R n . On appelle enveloppe convexe de S, et on note conv S (traditionnellement co S), le plus petit ensemble convexe (au sens de l’inclusion) contenant S. Il y a deux manières de construire conv S :
conv S = intersection de tous les convexes C contenant S ;
conv S = ensemble de toutes les combinaisons convexes d’éléments de S.
Deux théorèmes importants :
Th´ eor` eme (C. Carath´ eodory). Tout élément x de conv S, où S ⊂ R n , peut être
représenté sous forme de combinaison convexe d’au plus n + 1 éléments de S.
Th´ eor` eme (H. Minkowski). Si C est un convexe compact de R n , alors C =
conv(ext C).
On appelle enveloppe convexe fermée de S, et on note conv S, le plus petit
ensemble convexe fermé contenant S. Il y a déjà deux manières de voir conv S :
conv S = intersection de tous les convexes fermés C contenant S ;
conv S = adhérence de conv S (autrement dit, pour avoir conv S on commence par convexifier S, puis on ferme l’ensemble conv S ainsi
obtenu).
(1) Dans le cas non polyédral, le vocable sommet de C est plutôt réservé à un point extrémal x de
C tel que N (C, x) soit de dimension n (N (C, x) désigne le cône normal à C en x ; cf. Chapitre 3).
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de C dans le sous-espace affine engendré par C est appelé l’intérieur relatif de C ;
il est noté ir C (ou int r C).
Chose extraordinaire : ir C = φ dès que (le convexe) C = φ.
– Une partie convexe F de C est appelée face (ou partie extrémale) de C
lorsque la propriété suivante est vérifiée :
(x 1 , x 2 ) ∈ C × C et
∃ α ∈ ]0, 1[ tel que αx 1 + (1 − α)x 2 ∈ F
⇒ [x 1 , x 2 ] ⊂ F.
Les faces exposées de C (cf. Chapitre 5) sont les exemples les plus importants
de faces de C ; toutefois une face de C n’est pas nécessairement une face exposée
de C.
Le cas « minimal » de face F est lorsque dim F = 0 ; alors F = {x} et on parle
plutôt de point extrémal x. En d’autres termes, x ∈ C est appelé point extrémal (1)
de C s’il n’est pas possible d’avoir x = αy + (1 − α)z avec y et z deux points
distincts de C et α ∈ ]0, 1[ . On note ext C l’ensemble des points extrémaux de C.
Propriété : Si C est un convexe compact de R n , alors ext C = φ.
VI.1.2. Enveloppe convexe, enveloppe convexe fermée
Soit S ⊂ R n . On appelle enveloppe convexe de S, et on note conv S (traditionnellement co S), le plus petit ensemble convexe (au sens de l’inclusion) contenant S. Il y a deux manières de construire conv S :
conv S = intersection de tous les convexes C contenant S ;
conv S = ensemble de toutes les combinaisons convexes d’éléments de S.
Deux théorèmes importants :
Th´ eor` eme (C. Carath´ eodory). Tout élément x de conv S, où S ⊂ R n , peut être
représenté sous forme de combinaison convexe d’au plus n + 1 éléments de S.
Th´ eor` eme (H. Minkowski). Si C est un convexe compact de R n , alors C =
conv(ext C).
On appelle enveloppe convexe fermée de S, et on note conv S, le plus petit
ensemble convexe fermé contenant S. Il y a déjà deux manières de voir conv S :
conv S = intersection de tous les convexes fermés C contenant S ;
conv S = adhérence de conv S (autrement dit, pour avoir conv S on commence par convexifier S, puis on ferme l’ensemble conv S ainsi
obtenu).
(1) Dans le cas non polyédral, le vocable sommet de C est plutôt réservé à un point extrémal x de
C tel que N (C, x) soit de dimension n (N (C, x) désigne le cône normal à C en x ; cf. Chapitre 3).
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