VI
ENSEMBLES ET FONCTIONS CONVEXES.
PROJECTION SUR UN CONVEXE FERMÉ
Rappels
VI.1. Ensembles convexes
Bien des notions et propriétés rappelées ci-après ont déjà été vues à propos
des polyèdres convexes fermés (rappels du Chapitre 5) ; seuls sont soulignés ici les
aspects qui en diffèrent.
– C ⊂ R n est dit convexe (ou est un convexe) lorsque αx + (1 − α)x ∈ C dès
que x et x sont dans C et α ∈ ]0, 1[ .
– Stabilité de la convexité par certaines opérations sur les ensembles :
– Si C 1 et C 2 sont des convexes de R n , il en est de même de C 1 + C 2 ;
– Si C 1 est un convexe de R p et C 2 un convexe de R q , alors C 1 × C 2 est
un convexe de R p × R q ;
– Si (C i ) i∈I est une collection de convexes, ∩
i∈I
C i est encore convexe.
VI.1.1. Ensembles convexes associés à un convexe donné
– Le plus petit sous-espace affine de R n contenant un convexe C de R n s’appelle
le sous-espace affine engendré par C, et est noté aff C ; on appelle dimension de
C la dimension de ce sous-espace affine engendré (notation : dim C). L’intérieur