Chapitre IV. Mini-maximisation. Dualisation de problèmes...
– Si λ ∈
a k
b k
,
a k+1
b k+1
, ψ (λ) a pour expression
k
i=1
a i +
n
i=k+1
a i b i λ
2 −
λb i
a i
− λ.
La fonction ψ est finie sur R + et continue sur R +
∗ (puisque concave sur R + ).
Étudions sa dérivabilité sur R +
∗ .
Il est clair que ψ est dérivable sur
a k
b k
,
a k+1
b k+1
, de dérivée
ψ
(λ) =
n
i=k+1
a i b i
λ
− b i
− 1.
Notons que lim
λ→
a k
b k
−
ψ
(λ) = lim
λ→
a k
b k
+
ψ
(λ) ; donc ψ est dérivable sur R +
∗ .
D’ailleurs la formule générale donnant ψ
sur R +
∗ est :
ψ
(λ) =
n
i=1
b i
a i
b i λ
− 1
+
− 1 pour tout λ > 0.
Observons – et ce n’est pas surprenant – que ψ
(λ) est la dérivée par
rapport à λ de λ −→ L (x, λ) = f (x) + λ
n
i=1
b i x i − 1
prise au point optimal x(λ).
La fonction ψ
est continue sur R +
∗ , strictement décroissante sur
0,
an
bn
,
et de plus :
lim
λ→0 +
ψ
(λ) = +∞ ;
ψ
(λ) = −1 pour λ
a n
b n
·
L’équation ψ
(λ) = 0 a donc une et une seule solution λ (> 0), et c’est
l’unique point maximisant ψ sur R + .
La solution de (P) est donc x = x
λ
, c’est-à-dire :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x i =
a i
λb i
− 1 pour tous les i tels que
a i
b i
> λ,
x i = 0 pour tous les i tels que
a i
b i
λ.
Exemple. a 1 = 1, a 2 = 3, a 3 = 4
b 1 = 1, b 2 = 1, b 3 = 4/5.
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