IV.3. Premiers pas dans la théorie de la dualité
c’est-à-dire
⎧
⎨
⎩
−
a i
(1 + x (λ) i )
2 + b i λ = 0 pour tout i tel que x (λ) i > 0,
a i − b i λ 0 pour tout i tel que x (λ) i = 0.
On constate que (x (λ) i > 0) équivaut à
λ <
a i
b i
. Ainsi x (λ) est le vecteur
de R n de composantes
a i
b i λ − 1
+
, i = 1, . . . , n.
Par suite
ψ (λ) = L (x (λ) , λ) =
{i | x(λ) i =0}
a i +
{i | x(λ) i >0}
a i b i λ
+ λ
⎛
⎜
⎝
{i | x(λ) i >0}
b i
a i
b i λ
− 1
− 1
⎞
⎟
⎠ .
Or
{i | x(λ) i =0}
a i +
{i | x(λ) i >0}
a i b i λ =
n
i=1
a i
1 −
1 −
b i λ
a i
+
et
{i | x(λ) i >0}
b i
a i
b i λ
− 1
=
n
i=1
b i
a i
b i λ
− 1
+
,
de sorte que
ψ (λ) =
n
i=1
a i
1 −
1 −
b i λ
a i
+
+ λb i
a i
b i λ
− 1
+
− λ
=
n
i=1
a i
1 +
b i λ
a i
− 1
1 −
b i λ
a i
+
− λ.
b) Quitte à renuméroter les indices, on peut supposer que nous avons la
disposition suivante :
a 1
b 1
a 2
b 2
. . .
an
bn . Ainsi :
– Si λ
an
bn , ψ (λ) =
n
i=1
a i − λ ;
– Si λ <
a 1
b 1
, ψ (λ) =
n
i=1
a i b i λ
2 −
λb i
a i
− λ ;
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