IV.3. Premiers pas dans la théorie de la dualité
Voir ci-dessous le tracé de la fonction duale ψ :
∀λ 0, ψ (λ) = 1 +
√
λ − 1
1 −
√
λ
+
+3
1 +
λ
3
− 1
1 −
λ
3
+
+ 4
1 +
λ
5
− 1
1 −
λ
5
+
− λ ;
∀λ > 0, ψ
(λ) =
1
λ
− 1
+
+
3
λ
− 1
+
+
4
5
5
λ
− 1
+
− 1.
Valeur approchée de λ : 1, 58122109.
Valeur approchée de ψ(λ) : 5, 42941905.
** Exercice IV.9. Dans R n muni du produit scalaire usuel ·, ··, on considère le
problème de minimisation suivant :
(P)
⎧
⎨
⎩
Minimiser f (x) :=
1
2
Mx, x + q, x
sous la contrainte Ax + b 0,
où M ∈ M n (R) est symétrique définie positive, q ∈ R n , A ∈ M m,n (R) et
b ∈ R m .
1 ◦ ) Déterminer la fonction duale Θ associée au lagrangien
L : (x, μ) −→ L (x, μ) :=
1
2
Mx, x + q, x + μ, Ax + b .
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