IV.3. Premiers pas dans la théorie de la dualité
Commentaire :
Soit g : u −→ g(u) :=
n
i=1
u i
a i
2 − 1, de sorte que E =
{u ∈ R n | g(u) 0} . On vérifie sur le cas traité dans l’exercice que la seule manière d’assurer
u (μ) ∈ E et μg (u (μ)) = 0
(ce qui revient ici à : μ > 0 et g (u (μ)) = 0), est d’avoir μ = μ.
* Exercice IV.5. Étant donnés s ∈ R n \ {0} et c ∈ R n , on considère le problème
de minimisation convexe suivant :
(P) Minimiser
1
2
x
2
− −c, x
sous la contrainte s, x 0.
1 ◦ ) Déterminer la fonction duale μ ∈ R + −→ ψ (μ) associée au lagrangien
L : (x, μ) −→ L (x, μ) =
1
2
x
2
− −c, x + μ s, x .
2 ◦ ) Résoudre le problème dual (D) associé à (P), c’est-à-dire celui de la
maximisation de ψ sur R + (on sera amené à considérer plusieurs cas, suivant le
signe de c, s).
3 ◦ ) Utiliser le résultat précédent pour résoudre effectivement (P).
Solution : 1 ◦ ) ψ (μ) = inf x∈R n L (x, μ) par définition.
L (·, μ) est une fonction quadratique strictement convexe sur R n . Son minimum est la solution de l’équation ∇ x L (x, μ) = 0, soit
x − c + μs = 0, c’est-à-dire x (μ) = c − μs.
Donc ψ (μ) =
1
2 c − μs 2 − −c, c − μs + μ s, c − μs = −
1
2 c − μs 2 .
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