Chapitre IV. Mini-maximisation. Dualisation de problèmes...
2 ◦ ) ψ est une fonction concave que l’on doit maximiser sur R + (c’est notre
problème dual (D)). Ici, ψ est une fonction polynomiale du 2 e degré en μ, avec
ψ
(μ) = c − μs, s = c, s − μ s 2 . Deux cas sont à distinguer :
• •c, s 0, auquel cas la seule solution de (D) est μ =
c,s
s 2 . Alors
ψ (μ) = −
1
2
c − μs
2 =
(c, s)
2
2 s 2 −
1
2
c
2 .
• •c, s < 0, auquel cas le supremum de ψ sur R + est atteint en μ = 0.
Alors
ψ (μ) = −
1
2
c
2 .
3 ◦ ) Le problème (P) a une seule solution x. La minimisation de la fonction
strictement convexe L (·, μ) sur R n donnera automatiquement la solution x
cherchée.
• •c, s < 0. Ici L (x, μ) =
1
2 x 2 − −c, x et le minimum de L (·, μ) est
atteint en x = c. La valeur optimale est
L (x, μ) = f (x) = ψ (μ) = −
1
2
c
2 .
• •c, s 0. Alors L (x, μ) =
1
2 x 2 − −c, x +
c,s
s 2 s, x . La fonction
L (·, μ) est minimisée en
x = c −
c, s
s 2 s = c − μs.
Finalement
f (x) = L (x, μ) = ψ (μ) =
(c, s)
2
2 s 2 −
1
2
c
2 .
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