Chapitre IV. Mini-maximisation. Dualisation de problèmes...
On cherche à résoudre le problème de minimisation suivant :
(P)
Minimiser f (u)
u ∈ E.
1 ◦ ) Déterminer la fonction duale μ ∈ R + −→ ψ(μ) associée au lagrangien
usuel (u, μ) ∈ R n × R −→ L (u, μ) dans (P).
2 ◦ ) Montrer que ψ est maximisée sur R + en un point μ > 0 unique solution
de l’équation (en μ)
n
i=1
a 2
i x 2
i
(a
2
i +μ)
2 = 1.
Commentaire : Exercice à relier, évidemment, à l’Exercice 3.8.
Solution : 1 ◦ ) Pour tout μ 0, la fonction de Lagrange
u ∈ R n −→ L (u, μ) =
n
i=1
(u i − x i )
2 + μ
n
i=1
u i
a i
2
− 1
est minimisée
sur R n en u (μ) dont les composantes sont
u (μ) i =
a 2
i x i
a 2
i + μ
, i = 1, . . . , n.
La valeur optimale ψ (μ) := inf u∈R n L (u, μ) est
ψ (μ) =
n
i=1
x 2
i μ
a 2
i + μ
− μ.
ψ est notre fonction duale.
ψ est strictement concave continue sur R + et ψ (μ) → −∞ quand μ → +∞.
Il existe donc un et un seul μ maximisant ψ sur R + .
2 ◦ ) ψ est dérivable sur (un intervalle ouvert contenant) R + , avec
ψ
(μ) =
n
i=1
a 2
i x 2
i
a 2
i + μ
2 − 1 pour tout μ 0.
ψ
(0) > 0 car x /
∈ E ; ψ est donc maximisée au seul point μ > 0 annulant ψ .
Exemple. a i = i pour i = 1, . . . , 7 ; x i = 10 pour i = 1, . . . , 7.
Valeur approchée de μ : 87, 67846859.
Valeur approchée de ψ (μ) : 494, 9439304.
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