IV.3. Premiers pas dans la théorie de la dualité
2 ◦ ) Montrer que (x, y) est un point-selle de l sur X × Y si et seulement si :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x minimise la fonction ϕ := max i=1,...,m f i sur R n
et
y ∈ Y avec y i = 0 dès que f i (x) < ϕ (x) .
Solution : 1 ◦ ) l est convexe-concave sur X × Y. Supposons par exemple f 1
0-coercive sur R n ; en considérant y 0 = (1, 0, . . . , 0) ∈ Y , on a l(x, y 0 ) → +∞
quand x → +∞ ; par ailleurs Y est convexe compact. Il en résulte que
l’ensemble des points-selles de l sur X × Y est un convexe compact non vide
de X × Y , de la forme S × T. Reste à déterminer S et T précisément.
2 ◦ ) Considérons ϕ : x ∈ X −→ ϕ(x) := sup y∈Y l(x, y), la première des
fonctions intervenant dans la mini-maximisation de l sur X × Y . En raison de
la structure particulière de l et Y ici, on voit aisément que
ϕ (x) = max
i=1,...,m
f i (x) pour tout x ∈ X.
La valeur-selle l de l sur X × Y est donc
l = min
x∈R n
max
i=1,...,m
f i (x)
.
Les x d’un point-selle (x, y) de l sur X × Y sont ceux pour lesquels ϕ(x) = l,
c’est-à-dire ceux qui minimisent max i=1,...,m f i sur R n .
De même, les y d’un point-selle (x, y) sont ceux de Y pour lesquels
l(x, y) = ϕ(x). Sachant que l(x, y) =
m
i=1
y i f i (x) et ϕ(x) = max
i=1,...,m
f i (x), cela
conduit aux y d’un « sous-simplexe-unité » de Y , à savoir les y ∈ Y dont les
composantes y i sont nulles lorsque f i (x) < max
i=1,...,m
f i (x).
* Exercice IV.4. Étant donnés a 1 , . . . , a n des réels différents de zéro, on considère
l’ellipsoïde plein de R n défini comme suit :
E :=
u = (u 1 , . . . , u n ) ∈ R
n
|
n
i=1
u i
a i
2
1
.
Soient x /
∈ E fixé et f : R n → R définie par :
∀u ∈ R
n , f(u) := u − x
2 .
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2 ◦ ) Montrer que (x, y) est un point-selle de l sur X × Y si et seulement si :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x minimise la fonction ϕ := max i=1,...,m f i sur R n
et
y ∈ Y avec y i = 0 dès que f i (x) < ϕ (x) .
Solution : 1 ◦ ) l est convexe-concave sur X × Y. Supposons par exemple f 1
0-coercive sur R n ; en considérant y 0 = (1, 0, . . . , 0) ∈ Y , on a l(x, y 0 ) → +∞
quand x → +∞ ; par ailleurs Y est convexe compact. Il en résulte que
l’ensemble des points-selles de l sur X × Y est un convexe compact non vide
de X × Y , de la forme S × T. Reste à déterminer S et T précisément.
2 ◦ ) Considérons ϕ : x ∈ X −→ ϕ(x) := sup y∈Y l(x, y), la première des
fonctions intervenant dans la mini-maximisation de l sur X × Y . En raison de
la structure particulière de l et Y ici, on voit aisément que
ϕ (x) = max
i=1,...,m
f i (x) pour tout x ∈ X.
La valeur-selle l de l sur X × Y est donc
l = min
x∈R n
max
i=1,...,m
f i (x)
.
Les x d’un point-selle (x, y) de l sur X × Y sont ceux pour lesquels ϕ(x) = l,
c’est-à-dire ceux qui minimisent max i=1,...,m f i sur R n .
De même, les y d’un point-selle (x, y) sont ceux de Y pour lesquels
l(x, y) = ϕ(x). Sachant que l(x, y) =
m
i=1
y i f i (x) et ϕ(x) = max
i=1,...,m
f i (x), cela
conduit aux y d’un « sous-simplexe-unité » de Y , à savoir les y ∈ Y dont les
composantes y i sont nulles lorsque f i (x) < max
i=1,...,m
f i (x).
* Exercice IV.4. Étant donnés a 1 , . . . , a n des réels différents de zéro, on considère
l’ellipsoïde plein de R n défini comme suit :
E :=
u = (u 1 , . . . , u n ) ∈ R
n
|
n
i=1
u i
a i
2
1
.
Soient x /
∈ E fixé et f : R n → R définie par :
∀u ∈ R
n , f(u) := u − x
2 .
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