Chapitre IV. Mini-maximisation. Dualisation de problèmes...
En somme, si y = 0, une solution x y de (P y ) est caract´ eris´ ee par :
A(x y − a), x y − a = 1,
∃ μ > 0 tel que y + 2μA(x y − a) = 0.
La deuxième relation ci-dessus donne x y − a = −
A −1 y
2μ qui, reportée dans
la première, induit μ =
√ A −1 y,y
2
. Puis
x y = a −
A −1 y
A −1 y, y
·
Si y = 0, tout point de X est solution de (P 0 ).
3 ◦ ) D’après ce qui précède,
ψ(y) := min
x∈X
l(x, y) = x y , y = a, y −
A −1 y, y,
ce qui avec (∗) donne l’égalité annoncée.
Les points y ∈ Y maximisant ψ sur Y sont exactement les y tels que (x, y)
soit un point-selle de l sur X × Y. Donc, dans le cas présent, y =
x
x
.
** Exercice IV.3. Soient f 1 , . . . , f m m fonctions convexes différentiables sur R n .
On suppose que l’une d’entre elles est 0-coercive sur R n , c’est-à-dire vérifie :
lim
x→+∞
f i (x) = +∞.
On définit :
l : (x, y) ∈ R
n
× R
m
−→ l(x, y) :=
m
i=1
y i f i (x) ;
X := R
n ;
Y est le simplexe-unité de R
m , c’est-à-dire
(y 1 , . . . , y m ) ∈ R
m
| y i 0 pour tout i, et
m
i=1
y i = 1
.
1 ◦ ) Indiquer rapidement pourquoi l a des points-selles sur X × Y.
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