Chapitre III. Minimisation avec contraintes. Conditions de minimalité
Une condition nécessaire de minimalité locale (du 1 er ordre) vérifiée en x est
donc :
– Une combinaison convexe des ∇f i (x), i ∈ I(x), est égale (au vecteur) 0.
– Autre manière de dire la même chose : (le vecteur) 0 est dans le plus
petit polyèdre convexe construit à partir des ∇f i (x), i ∈ I(x).
Commentaire : – Si on a affaire à une famille infinie de fonctions continues f i ,
on ne peut seulement assurer que la semi-continuité inférieure de g := sup
i
f i .
Prendre comme exemple
x ∈ R −→ f i (x) := |x|
1/i , i ∈ N
∗ ;
il y a alors un « décrochement vers le bas » de g := sup i f i au point 0.
– Lorsque les f i sont différentiables, l’objet mathématique adéquat qui joue le
rôle de gradient de g := max {f 1 , . . . , f p } en x est
ˆ
∇g(x) :=
⎧
⎨
⎩
i∈I(x)
α i ∇f i (x) |
i∈I(x)
α i = 1 et α i 0 pour tout i ∈ I(x)
⎫
⎬
⎭
.
Résultats démontrés dans l’exercice :
– g est différentiable en x si et seulement si ˆ
∇g(x) est un singleton ;
– Si x est un minimum local de g, alors 0 ∈ ˆ
∇g(x).
– Prolongement de l’exercice : réfléchir à ce que pourrait être (ou ce que
devrait être) l’objet mathématique jouant le rôle de matrice hessienne de g :=
max {f 1 , . . . , f p } en x lorsque les fonctions f i sont deux fois différentiables en x,
et par suite à une condition nécessaire de minimalité (du 2 e ordre) vérifiée en un
minimum local de g.
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