III.4. Conditions de minimalité du second ordre
[⇐]. Posons v = ∇f i (x), i ∈ I (x) . Soit i ∈ I (x) et écrivons que f i est
différentiable en x : ∀ε > 0, ∃ δ i > 0 tel que
(x − x δ i ) ⇒ (|f i (x) − f i (x) − −v, x − x| ε x − x) .
(3.16)
Pour x assez voisin de x, g(x) = f i (x) où i est un certain indice de I(x) (cela
résulte de (3.15)). En conséquence, il vient de (3.16) : ∃ δ > 0 tel que
(x − x δ) ⇒ (|g(x) − g(x) − −v, x − x| ε x − x) .
On a ainsi démontré que g est différentiable en x et ∇g(x) = v.
[⇒]. Supposons g différentiable en x. Soit i quelconque dans I(x). Puisque
g f i (par définition même de g), que (g − f i )(x) = 0 (car i ∈ I(x)), et que
g − f i est différentiable en x, on a ∇(g − f i )(x) = 0. D’où ∇g(x) = ∇f i (x).
3 ◦ ) – Soit V un voisinage de x sur lequel g(x) g(x). Un simple jeu
d’inégalités permet de voir que l’on a
r g(x) pour tout (x, r) ∈ (V × R) ∩ S.
Donc (x, g(x)) est un minimum local de ϕ 0 sur S. (Il est d’ailleurs intéressant
de visualiser sur une figure ce passage de R n à R n × R).
– Concernant ϕ 0 et ϕ i nous avons :
∇ϕ 0 (x, g(x)) =
0
1
, ∇ϕ i (x, g(x)) =
∇f i (x)
−1
dans
R n
×
R
;
par ailleurs, dans le problème de minimisation de ϕ 0 sur S, les indices des
contraintes-inégalités actives en (x, g(x)) sont exactement ceux pour lesquels
f i (x) = g(x), c’est-à-dire ceux de I(x). Comme l’hypothèse de qualification
des contraintes (QC) (x,g(x)) , qui requiert l’existence de (d, δ) ∈ R n × R tel que
∇f i (x)
−1
,
d
δ
< 0 pour tout i ∈ I(x),
est trivialement vérifiée (comme d’ailleurs l’hypothèse de qualification des
contraintes (QC)
(x,g(x)) ), les conditions nécessaires de minimalité de KKT induisent qu’il existe des réels positifs μ 1 , . . . , μ p tels que :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
0
1
+
p
i=1
μ i
∇f i (x)
−1
= 0,
μ i = 0 si i /
∈ I(x).
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