Chapitre III. Minimisation avec contraintes. Conditions de minimalité
On pose, pour x ∈ R n ,
I(x) := {1 i p | f i (x) = g(x)} .
2 ◦ ) On suppose que les f i sont toutes différentiables en x. À quelle condition
(nécessaire et suffisante) portant sur les ∇f i (x), i ∈ I(x), la fonction g est-elle
différentiable en x ?
3 ◦ ) On définit ϕ 0 , ϕ 1 , . . . , ϕ p : R n × R −→ R de la manière suivante :
∀(x, r) ∈ R
n
× R, ϕ 0 (x, r) := r,
ϕ i (x, r) := f i (x) − r pour i = 1, . . . , p.
– Vérifier que si x est un minimum local de g, alors (x, g(x)) est un minimum
local de ϕ 0 sur l’ensemble-contrainte
S := {(x, r) ∈ R
n
× R | ϕ i (x, r) 0 pour tout i = 1, . . . , p} .
– Quelle condition nécessaire de minimalité (en x) peut-on déduire de cette
observation ?
Solution : 1 ◦ ) En posant g j := max {f 1 , f 2 , . . . , f j } pour j = 1, . . . , p, on a :
g j+1 = max {g j , f j+1 } =
1
2
(g j + f j+1 + |g j − f j+1 |) .
Grâce à la continuité de g 1 = f 1 , de f 2 , . . . , f p , et celle de |h| lorsque h est
continue, la formule ci-dessus conduit par récurrence à la continuité de g p = g.
2 ◦ ) Lorsque i /
∈ I(x), on a f i (x) < g(x). De par la continuité de g et des
f i , il existe un voisinage V de x tel que :
f i (x) < g(x) pour tout i /
∈ I(x) et tout x ∈ V.
Une autre manière de dire la même chose est :
I(x) ⊂ I(x) pour tout x ∈ V.
En conséquence,
g(x) = max {f i (x) | i ∈ I(x)} pour tout x ∈ V.
(3.15)
Qu’est-ce qui fait à présent que g est différentiable en x ? L’examen attentif de
quelques exemples (même de fonctions d’une seule variable) suggère le résultat
suivant :
(g est différentiable en x) ⇔ (∇f i (x) est constant pour tout i ∈ I (x)) .
Auquel cas, ∇g(x) = ∇f i (x) (i étant pris quelconque dans I(x)).
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On pose, pour x ∈ R n ,
I(x) := {1 i p | f i (x) = g(x)} .
2 ◦ ) On suppose que les f i sont toutes différentiables en x. À quelle condition
(nécessaire et suffisante) portant sur les ∇f i (x), i ∈ I(x), la fonction g est-elle
différentiable en x ?
3 ◦ ) On définit ϕ 0 , ϕ 1 , . . . , ϕ p : R n × R −→ R de la manière suivante :
∀(x, r) ∈ R
n
× R, ϕ 0 (x, r) := r,
ϕ i (x, r) := f i (x) − r pour i = 1, . . . , p.
– Vérifier que si x est un minimum local de g, alors (x, g(x)) est un minimum
local de ϕ 0 sur l’ensemble-contrainte
S := {(x, r) ∈ R
n
× R | ϕ i (x, r) 0 pour tout i = 1, . . . , p} .
– Quelle condition nécessaire de minimalité (en x) peut-on déduire de cette
observation ?
Solution : 1 ◦ ) En posant g j := max {f 1 , f 2 , . . . , f j } pour j = 1, . . . , p, on a :
g j+1 = max {g j , f j+1 } =
1
2
(g j + f j+1 + |g j − f j+1 |) .
Grâce à la continuité de g 1 = f 1 , de f 2 , . . . , f p , et celle de |h| lorsque h est
continue, la formule ci-dessus conduit par récurrence à la continuité de g p = g.
2 ◦ ) Lorsque i /
∈ I(x), on a f i (x) < g(x). De par la continuité de g et des
f i , il existe un voisinage V de x tel que :
f i (x) < g(x) pour tout i /
∈ I(x) et tout x ∈ V.
Une autre manière de dire la même chose est :
I(x) ⊂ I(x) pour tout x ∈ V.
En conséquence,
g(x) = max {f i (x) | i ∈ I(x)} pour tout x ∈ V.
(3.15)
Qu’est-ce qui fait à présent que g est différentiable en x ? L’examen attentif de
quelques exemples (même de fonctions d’une seule variable) suggère le résultat
suivant :
(g est différentiable en x) ⇔ (∇f i (x) est constant pour tout i ∈ I (x)) .
Auquel cas, ∇g(x) = ∇f i (x) (i étant pris quelconque dans I(x)).
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