IV
MINI-MAXIMISATION. DUALISATION DE
PROBLÈMES DE MINIMISATION CONVEXE
Rappels
IV.1. Points-selles (ou cols) ; problèmes
de mini-maximisation
Soit l : X × Y → R. Un couple (x, y) ∈ X × Y est appelé point-selle (ou col)
de l sur X × Y lorsque
l (x, y) l (x, y) l (x, y) pour tout (x, y) ∈ X × Y.
L’ensemble des points-selles de l sur X × Y a nécessairement une structure
très particulière : c’est un produit cartésien d’ensembles (qui peut être vide, cela
va sans dire). La valeur l(x, y) est constante pour tous les points-selles (x, y) de l
sur X × Y : elle est appelée valeur-selle.
Un exemple de résultat d’existence de points-selles est fourni par le théorème
qui suit.
Th´ eor` eme. Soient X ⊂ R n et Y ⊂ R m deux convexes fermés non vides et l :
X × Y → R. On suppose :
– Pour tout y ∈ Y, la fonction l(·, y) : X → R est convexe ; pour tout x ∈ X,
la fonction l(x, ·) : Y → R est concave (on dit alors que l est convexe-concave sur
X × Y ) ;
– X est borné, ou bien il existe y 0 ∈ Y tel que l(x, y 0 ) → +∞ quand x →
+∞, x ∈ X ;