III.4. Conditions de minimalité du second ordre
L’hypothèse (H 2 ) implique que l’une des inégalités ci-dessus est stricte. Par
conséquent :
lim
t→0
p c (x + td) − p c (x)
t 2 /2
=
∇
2 f (x)d, d
+
m
i=1
c i
∇
2 h i (x)d, d
+
i∈I(x)
c i
∇
2 g i (x)d, d
+
>
∇
2 f (x)d, d
+
m
i=1
λ i
∇
2 h i (x)d, d
+
i∈I(x)
λ i
∇
2 g i (x)d, d
0
de par les conditions nécessaires
de minimalité du 2 e ordre
.
Donc lim
t→0
p c (x + td) − p c (x)
t 2 /2
est > 0. Dans les deux cas de figure (d /
∈ L(x)
et d ∈ L(x)), x est un minimum local de p c dans la direction d.
** Exercice III.31. Soit f et h définies sur R 2 comme suit :
∀x = (ξ 1 , ξ 2 ) ∈ R
2 , f(x) := −ξ
3
2 − 2ξ
2
2 − ξ 2
h(x) := ξ
2
1 + ξ
2
2 + ξ 2 .
On considère le problème d’optimisation (P) qui consiste à minimiser f (x)
sous la contrainte h(x) = 0.
1 ◦ ) Déterminer les points vérifiant les conditions nécessaires d’optimalité du
1 er ordre.
Parmi ces points quels sont ceux qui sont minima globaux dans (P) ?
(Il y en a deux, que nous noterons x 1 et x 2 .)
2 ◦ ) Les conditions suffisantes du 2 e ordre pour être un minimum local strict
dans (P) sont-elles satisfaites en x 1 et x 2 ?
3 ◦ ) On pose
f (α) := inf
h(x)=α
f (x), où α est un paramètre réel.
Montrer, sans calculer son expression explicite, que f ne saurait être dérivable en 0.
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