Chapitre III. Minimisation avec contraintes. Conditions de minimalité
Solution : 1 ◦ ) Les fonctions f et h sont continûment différentiables sur R 2 ,
de plus ∇h(x) =
2ξ 1
2ξ 2 + 1
= 0 pour tout x de l’ensemble-contrainte. Donc
les points x =
ξ 1 , ξ 2
vérifiant les conditions nécessaires d’optimalité du 1 er
ordre (conditions de Lagrange) sont ceux pour lesquels
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
ξ
2
1 + ξ
2
2 + ξ 2 = 0 ;
∃ λ ∈ R tel que
0
−3ξ
2
2 − 4ξ 2 − 1
+ λ
2ξ 1
2ξ 2 + 1
= 0.
Des calculs simples conduisent aux quatre possibilités suivantes :
x 1 = (0, 0) et λ 1 = 1 ; x 2 = (0, −1) et λ 2 = 0 ;
x 3 =
√
2
3
, −
1
3
et λ 3 = 0 ; x 4 =
−
√
2
3
, −
1
3
et λ 4 = 0.
Les points x 1 et x 2 sont les minima globaux dans (P) ; la valeur minimale
dans (P) est f = 0.
2 ◦ ) Le sous-espace tangent à l’ensemble-contrainte en x 1 comme en x 2 est
H = R × {0} . Ensuite
∇
2
xx L
x 1 , λ 1
:= ∇
2 f (x 1 ) + λ 1 ∇
2 h(x 1 ) =
2 0
0 −2
vérifie
∇
2
xx L
x 1 , λ 1
d, d
> 0 pour tout d = 0 dans H.
Les conditions suffisantes du second ordre de minimalité locale sont bien
satisfaites en x 1 .
En ce qui concerne x 2 , ∇ 2
xx L
x 2 , λ 2
=
0 0
0 2
de sorte que
∇ 2
xx L
x 2 , λ 2
d, d
= 0 pour tout d ∈ H. Les conditions suffisantes du second ordre de minimalité locale ne sont pas satisfaites en x 2 .
3 ◦ ) Les conditions suffisantes du second ordre de minimalité locale étant
satisfaites en x 1 , on a le résultat suivant : il existe un intervalle ouvert A
contenant 0 et une application α ∈ A −→ x 1,α dérivable en 0 tels que :
(i) x 1,0 = x 1 et, pour tout α ∈ A, x 1,α est un minimum local strict de f
sous la contrainte h(x) = α ;
(ii) α −→ ϕ (α) := f (x 1,α ) est dérivable en 0 et ϕ
(0) = −λ 1 .
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