Chapitre III. Minimisation avec contraintes. Conditions de minimalité
2 ◦ ) Soit x un point vérifiant les conditions nécessaires de minimalité du 1 er
ordre du type KKT, i.e. : Il existe λ 1 , . . . , λ m , λ m+1 , . . . , λ p tels que
∇f (x) +
m
i=1
λ i ∇h i (x) +
p
i=m+1
λ i ∇g i (x) = 0,
λ i 0 et λ i g i (x) = 0 pour tout i = m + 1, . . . , p.
Supposons c i
λ i
pour tout i. Alors :
– pour 1 i m, λ i ∇h i (x), d
λ i
· ||∇h i (x), d| c i ||∇h i (x), d| ;
– pour i ∈ I(x), λ i 0 de sorte que
λ i ∇g i (x), d λ i [∇g i (x), d]
+
c i [∇g i (x), d]
+ .
Ainsi
p
c (x, d)
∇f (x) +
m
i=1
λ i ∇h i (x) +
i∈I(x)
λ i ∇g i (x) , d
= 0.
3 ◦ ) L’hypothèse (H 1 ) assure l’existence (et l’unicité) des multiplicateurs λ i
associés à x.
– Considérons d /
∈ L(x). L’une des inégalités dans la preuve au-dessus de
la positivité de p
c (x, d) est stricte (d’accord ?) ; donc p
c (x, d) > 0.
– Considérons d ∈ L(x). Notons que nous avons le développement suivant :
p
c (x, d) = 0 ;
p c (x + td) − p c (x) =
t 2
2
∇
2 f (x)d, d
+
m
i=1
c i
∇
2 h i (x)d, d
+
i∈I(x)
c i
∇
2 g i (x)d, d
+
⎫
⎬
⎭
+ o(t
2 ).
Alors :
– pour 1 i m, λ i
∇ 2 h i (x)d, d
c i
∇ 2 h i (x)d, d
;
– pour i ∈ I(x), λ i
∇ 2 g i (x)d, d
c i
∇ 2 g i (x)d, d
+ .
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