III.4. Conditions de minimalité du second ordre
2 ◦ ) Soit x un point vérifiant les conditions nécessaires de minimalité
du 1 er ordre du type Karush-Kuhn-Tucker pour le problème (P) (avec
λ 1 , . . . , λ m , λ m+1 , . . . , λ p comme multiplicateurs). Montrer que si c i
λ i
pour
tout i = 1, . . . , p, alors
p
c (x, d) 0 pour tout d.
3 ◦ ) Pour tout x vérifiant les contraintes du problème (P) on pose :
L(x) : = {d ∈ R
n
| |∇h i (x), d = 0 pour tout i = 1, . . . , m,
∇g i (x), d = 0 pour tout i ∈ I(x) tel que λ i > 0,
∇g i (x), d 0 pour tout i ∈ I(x) tel que λ i = 0
,
où I(x) := {i | m + 1 i p, g i (x) = 0} .
On considère un minimum local x pour (P) et on fait les hypothèses suivantes :
(H 1 ) Les gradients {∇h i (x) , i = 1, . . . , m} et {∇g i (x) , i ∈ I(x)} sont
linéairement indépendants (ce qui assure l’existence et l’unicité des multiplicateurs λ i associés à x) ;
(H 2 ) ∀d ∈ L(x), ∃ i m pour lequel
∇ 2 h i (x)d, d
= 0
ou bien
∃ i ∈ I(x) pour lequel λ i > 0 et
∇ 2 g i (x)d, d
= 0.
Montrer que si c i >
λ i
pour tout i, alors, pour tout d ∈ R n , il existe ε d > 0
tel que : p c (x + td) p c (x) pour tout t ∈ ]−ε d , ε d [ (x est un minimum local de
p c dans toute direction d).
Indication. On distinguera le cas d /
∈ L (x) et le cas d ∈ L (x) .
Solution : 1 ◦ ) Si ϕ 1 et ϕ 2 sont deux fonctions de classe C 1 et si ϕ 1 (x) = ϕ 2 (x),
la fonction ϕ 3 := max {ϕ 1 , ϕ 2 } admet une dérivée directionnelle en x avec :
∀d ∈ R
n , ϕ
3 (x, d) = max {{∇ϕ 1 (x), d , ∇ϕ 2 (x), d} .
Par application de ce résultat nous avons :
∀d ∈ R
n , p
c (x, d) = ∇f (x), d +
m
i=1
c i ||∇h i (x), d| +
i∈I(x)
c i [∇g i (x), d]
+ .
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