Chapitre III. Minimisation avec contraintes. Conditions de minimalité
5 ◦ ) Raisonnons par l’absurde et supposons que la limite supérieure de
k
m
i=1
g
+
i (x k )
2 quand k → +∞ est > 0. Il s’ensuit alors une sous-suite {x k l } l
de {x k } et α > 0 tels que
P k l (x k l ) − f (x k l ) = k l
m
i=1
g
+
i (x k l )
2 α pour tout l.
Quitte à prendre une sous-suite de la suite (bornée) {x k l }, on peut supposer que {x k l } l est convergente. Sa limite x est solution de (P), d’après ce qui
a été démontré dans la 4 e question. On a donc :
f − f (x k l ) P k l (x k l ) − f (x k l ) α > 0 pour tout l
et
f (x k l ) → f (x) = f quand l → +∞,
d’où une contradiction.
6 ◦ ) a) La fonction g i étant convexe, il en est de même de g
+
i = max(0, g i )
et donc de (g
+
i ) 2 (d’accord ?). La fonction g i étant différentiable, il en est de
même de (g
+
i ) 2 .
Donc P k est une fonction convexe différentiable.
b) x k minimise P k sur R n si, et seulement si, ∇P k (x k ) = 0. Cela s’exprime
par
∇f (x k ) + 2k
m
i=1
g
+
i (x k )∇g i (x k ) = 0.
*** Exercice III.30. On considère le problème d’optimisation suivant :
(P)
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
Minimiser f (x) sous les contraintes
h i (x) = 0, i = 1, . . . , m
g i (x) 0, i = m + 1, . . . , p,
où f, h i , g i : R n → R sont des fonctions deux fois différentiables sur R n .
Pour tout c = (c 1 , . . . , c p ) ∈ (R + ) p , on définit la fonction p c par :
x ∈ R
n
−→ p c (x) := f (x) +
m
i=1
c i |h i (x)| +
p
i=m+1
c i g
+
i (x).
1 ◦ ) Calculer la dérivée directionnelle p
c (x, d) de p c en un point x de
l’ensemble-contrainte de (P) dans une direction quelconque d de R n .
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5 ◦ ) Raisonnons par l’absurde et supposons que la limite supérieure de
k
m
i=1
g
+
i (x k )
2 quand k → +∞ est > 0. Il s’ensuit alors une sous-suite {x k l } l
de {x k } et α > 0 tels que
P k l (x k l ) − f (x k l ) = k l
m
i=1
g
+
i (x k l )
2 α pour tout l.
Quitte à prendre une sous-suite de la suite (bornée) {x k l }, on peut supposer que {x k l } l est convergente. Sa limite x est solution de (P), d’après ce qui
a été démontré dans la 4 e question. On a donc :
f − f (x k l ) P k l (x k l ) − f (x k l ) α > 0 pour tout l
et
f (x k l ) → f (x) = f quand l → +∞,
d’où une contradiction.
6 ◦ ) a) La fonction g i étant convexe, il en est de même de g
+
i = max(0, g i )
et donc de (g
+
i ) 2 (d’accord ?). La fonction g i étant différentiable, il en est de
même de (g
+
i ) 2 .
Donc P k est une fonction convexe différentiable.
b) x k minimise P k sur R n si, et seulement si, ∇P k (x k ) = 0. Cela s’exprime
par
∇f (x k ) + 2k
m
i=1
g
+
i (x k )∇g i (x k ) = 0.
*** Exercice III.30. On considère le problème d’optimisation suivant :
(P)
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
Minimiser f (x) sous les contraintes
h i (x) = 0, i = 1, . . . , m
g i (x) 0, i = m + 1, . . . , p,
où f, h i , g i : R n → R sont des fonctions deux fois différentiables sur R n .
Pour tout c = (c 1 , . . . , c p ) ∈ (R + ) p , on définit la fonction p c par :
x ∈ R
n
−→ p c (x) := f (x) +
m
i=1
c i |h i (x)| +
p
i=m+1
c i g
+
i (x).
1 ◦ ) Calculer la dérivée directionnelle p
c (x, d) de p c en un point x de
l’ensemble-contrainte de (P) dans une direction quelconque d de R n .
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