III.4. Conditions de minimalité du second ordre
Soit x vérifiant les contraintes de (P) : on a g
+
i (x) = 0 pour tout
i = 1, . . . , m. D’où
P k (x k ) f (x) + k
m
i=1
g
+
i (x)
2 pour tout x ∈ R
n ,
f (x) pour tout x vérifiant les contraintes de (P).
Par suite, P k (x k ) inf {f (x) | g i (x) 0 pour i = 1, . . . , m} =: f .
3 ◦ ) Soit r un minorant de f sur R n (rappelons que f est bornée inférieurement sur R n car continue et 0-coercive ; elle atteint même sa borne inférieure).
Alors
r + k
m
i=1
g
+
i (x k )
2 f (x k ) + k
m
i=1
g
+
i (x k )
2 = P k (x k ) f,
d’où
0
m
i=1
g
+
i (x k )
2
f − r
k
,
et donc
g
+
i (x k ) → 0 quand k → +∞, pour tout i = 1, . . . , m.
4 ◦ ) Si lim
l→+∞
x k l = +∞ pour une sous-suite {x k l } l de {x k }, on aurait
lim
l→+∞
f (x k l ) = +∞ puisque f est 0-coercive. Mais
f (x k l ) P k l (x k l ) f,
d’où une contradiction. La suite {x k } est donc bornée.
Considérons une sous-suite {x k l } convergente, de limite x. On a :
– d’une part
g
+
i (x) = lim
l→+∞
g
+
i (x k l ) = 0, pour tout i = 1, . . . , m
(x vérifie les contraintes de (P)) ;
– d’autre part
f (x k l ) P k l (x k l ) f,
d’où f (x) f.
Le point-limite x est bien une solution de (P).
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