Chapitre III. Minimisation avec contraintes. Conditions de minimalité
Pour tout k ∈ N ∗ , soit P k : R n → R définie par
x ∈ R
n
−→ P k (x) := f (x) + k
m
i=1
g
+
i (x)
2 ,
où g
+
i (x) désigne max(g i (x), 0). (P k est une version pénalisée de f .)
1 ◦ ) Montrer qu’il existe x k minimisant globalement P k sur R n .
2 ◦ ) Vérifier que la suite {P k (x k )} est croissante et majorée par la valeur
optimale f de (P).
3 ◦ ) Montrer que
lim
k→+∞
m
i=1
g
+
i (x k )
2 = 0.
4 ◦ ) Établir que la suite {x k } est bornée et que toute limite de sous-suite
convergente de {x k } est solution de (P).
5 ◦ ) Montrer que
lim
k→+∞
k
m
i=1
g
+
i (x k )
2 = 0.
6 ◦ ) On suppose que les fonctions f, g 1 , . . . , g m sont convexes et différentiables.
a) P k est-elle convexe différentiable ?
b) Comment caractériser les x k minimisant P k sur R n ?
Solution : f est continue et 0-coercive sur R n , l’ensemble-contrainte de (P)
est un fermé non vide de R n ; donc (P) a des solutions.
1 ◦ ) P k est continue, et comme P k f , elle est également 0-coercive sur
R n : il existe donc x k minimisant (globalement) P k sur R n .
2 ◦ ) Par définition même des x k ,
P k (x k ) = min
x∈R n
P k (x) P k (x k+1 ) = f (x k+1 ) + k
m
i=1
g
+
i (x k+1 )
2
f (x k+1 ) + (k + 1)
m
i=1
g
+
i (x k+1 )
2
=P k+1 (x k+1 )
.
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