III.4. Conditions de minimalité du second ordre
Concernant le lagrangien
ˆ
L : (R
n
× R
p ) × (R
m
× R
p ) → R
(x, y, λ, μ) −→ ˆ
L (x, y ; λ, μ) = ˆ
f (x, y) +
m
i=1
λ i ˆ h i (x, y) +
p
j=1
μ j ˆ
h m+j (x, y)
associé au problème de minimisation ( ˆ
P), nous avons :
∇
2
(x,y;x,y)
ˆ
L
x, y; λ, μ
= p {
n { ∇ 2
xx f (x) 0
0
0
+
m
i=1
λ i
∇ 2
xx h i (x) 0
0
0
n
p
+
p
j=1
μ j
∇ 2
xx g j (x)
0
0
. . .
0
2 . . . . . .
. . .
. . .
. . .
0
j
j
de sorte que
∇
2
(x,y;x,y)
ˆ
L
x, y; λ, μ
(d, δ) , (d, δ)
=
⎛
⎝ ∇
2
xx f (x) +
m
i=1
λ i ∇
2
xx h i (x) +
j∈J(x)
μ j ∇
2
xx g j (x)
⎞
⎠ d, d
+ 2
j∈J(x)
μ j δ
2
j .
La positivité de cette forme quadratique sur T
ˆ
S, (x, y)
implique alors la
positivité des μ j .
** Exercice III.29. On considère le problème :
(P) Minimiser f (x) sous les contraintes g 1 (x) 0, . . . , g m (x) 0, avec les
hypothèses suivantes sur les données :
f : R
n
→ R est continue et 0-coercive (i.e. lim
x→+∞
f (x) = +∞) ;
g 1, . . . , g m : R n → R sont continues ; l’ensemble-contrainte de (P) n’est pas vide.
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