Chapitre III. Minimisation avec contraintes. Conditions de minimalité
En effet :
0 =
m+p
k=1
α k ∇ ˆ
h k (x, y) =
m
i=1
α i
∇h i (x)
0
+
p
j=1
α m+j
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
∇g j (x)
. . .
2y j
. . .
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
implique
α m+j y j = 0 pour j = 1, . . . , p, d’où α m+j = 0 si j /
∈ J (x)
puis
0 =
m
i=1
α i ∇h i (x) +
j∈J(x)
α m+j ∇g j (x) ;
et ceci n’est possible que si tous les coefficients α k sont nuls.
Par conséquent, il existe
λ 1 , . . . , λ m , μ 1 , . . . , μ p
∈ R m+p unique tel que
0 = ∇ ˆ
f (x, y) +
m
i=1
λ i ∇ ˆ
h i (x, y) +
p
j=1
μ j ∇ ˆ
h m+j (x, y).
C’est la condition de minimalité du 1 er ordre de Lagrange écrite en (x, y)
minimum local dans ( ˆ
P).
Cette relation se décompose en deux :
0 = ∇f (x) +
m
i=1
λ i ∇h i (x) +
p
j=1
μ j ∇g j (x)
et
0 = μ j y j pour tout j = 1, . . . , p.
Cette dernière relation signifie encore : μ j = 0 dès lors que j /
∈ J (x) .
Il ne reste plus qu’à démontrer que les μ j sont positifs. Cela résultera des
conditions nécessaires de minimalité du 2 e ordre écrites en (x, y) minimum
local de ˆ
f sur ˆ
S.
Étant donné que les ∇ ˆ
h 1 (x, y), . . . , ∇ ˆ
h m+p (x, y) sont linéairement indépendants, et sachant que y j = 0 lorsque j ∈ J(x), nous avons :
(d, δ) ∈ T
ˆ
S, (x, y)
⇔
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
∇h i (x) , d = 0
pour i = 1, . . . , m
∇g j (x) , d = 0
pour j ∈ J(x)
∇g j (x) , d + 2y j δ j = 0 pour j /
∈ J(x).
114