Chapitre III. Minimisation avec contraintes. Conditions de minimalité
Quand ξ 1 → +∞ (ξ 1 , −2ξ 1 ) reste dans C et f a (ξ 1 , −2ξ 1 ) = 4(a −
1
4 )ξ 2
1 + ξ 1
tend vers −∞. Donc f a n’est pas bornée inférieurement sur C.
Résumé :
a
solution
valeur optimale
a <
1
4
∅
−∞
1
4
a
1
3
1 −
1
a
,
1
a
2a − 1
a
1
3
< a
2a
1 − 4a
,
1
4a − 1
a
1 − 4a
** Exercice III.28. On se propose dans cet exercice d’obtenir les conditions nécessaires de minimalité de Karush-Kuhn-Tucker pour un problème de minimisation avec contraintes du type égalité et inégalité à partir des conditions nécessaires de minimalité du 1 er et 2 e ordre pour un problème de minimisation avec
contraintes du type égalité seulement.
Soit donc
(P)
Min f (x)
x ∈ S
, où
S := {x ∈ R n | h i (x) = 0 pour i = 1, . . . , m
et g j (x) 0 pour j = 1, . . . , p}.
On supposera f, h 1 , . . . , h m , g 1 , . . . , g p deux fois différentiables. Au point
x ∈ S minimum local de f sur S, il est supposé
(QC)
x : ∇h 1 (x) , . . . , ∇h m (x) , ∇g j (x) , j ∈ J (x), sont linéairement indépendants.
On considère le problème de minimisation ( ˆ
P) suivant, plongement du problème (P) dans R n × R p :
ˆ
P
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
Min f (x)
h i (x) = 0 pour i = 1, . . . , m
g j (x) + y 2
j = 0 pour j = 1, . . . , p.
1 ◦ ) Vérifier que si x est un minimum local dans (P) et si y = (y 1 , . . . , y p ) ∈
R p est tel que g j (x) + y 2
j = 0 pour j = 1, . . . , p, alors (x, y) est un minimum
local dans ( ˆ
P).
2 ◦ ) Écrire les conditions nécessaires de minimalité du 1 er et 2 e ordre en (x, y)
minimum local dans ( ˆ
P), et en déduire les conditions nécessaires de minimalité
du 1 er ordre en x minimum local dans (P).
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