III.4. Conditions de minimalité du second ordre
soit encore :
(1)
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
ξ 1 + ξ 2 − 1 < 0,
2ξ 1 + ξ 2 + 1
ξ 1 + 2aξ 2
=
0
0
ou bien
(2)
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
ξ 1 + ξ 2 − 1 = 0,
2ξ 1 + ξ 2 + 1 + μ
ξ 1 + 2aξ 2 + μ
=
0
0
, μ 0.
L’éventualité (1) ne se produit que lorsque a >
1
3 , auquel cas x =
−
2a
4a−1 ,
1
4a−1
.
L’éventualité (2) ne se produit que pour
1
4 a
1
3 , auquel cas x =
1 −
1
a ,
1
a
et μ =
1−3a
a .
2 e cas : 0 < a <
1
4 . Il y a deux points de C vérifiant les conditions nécessaires de minimalité du 1 er ordre, à savoir :
x 1 =
1 −
1
a
,
1
a
sur la frontière de C ;
x 2 =
2a
1 − 4a
, −
1
1 − 4a
à l’intérieur de C.
Quid des conditions nécessaires de minimalité du 2 e ordre ?
– En x 1 , le sous-espace à considérer est H = {(d 1 , d 2 ) ∈ R 2 | : ∇g(x 1 ), d =
0}, soit H = {(d 1 , d 2 ) ∈ R 2 | d 2 = −d 1 }. Alors :
∀d = (d 1 , −d 1 ) ∈ H
∇
2
xx L(x 1 , μ)d, d
=
∇
2 f a (x 1 )d, d
= 2ad
2
1 .
D’où
∇ 2 f a (x 1 )d, d
> 0 pour tout d = 0 dans H : le point x 1 est donc
un minimum local strict de f a sur C.
– En x 2 , le sous-espace à considérer est H = R 2 , et on a déjà vu que
∇ 2 f a (x 2 ) n’était pas semi-définie positive. Donc x 2 ne saurait être un minimum local de f a sur C.
Reste à savoir si x 1 est un minimum global de f a sur C.
En fait, f a est une fonction quadratique dont la valeur en x = (ξ 1 , ξ 2 ) peut
être décomposée comme suit :
f a (ξ 1 , ξ 2 ) =
ξ 1 +
ξ 2
2
2
+
a −
1
4
ξ
2
2 + ξ 1 .
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