Chapitre III. Minimisation avec contraintes. Conditions de minimalité
Donc, en fait, tous les points
ξ 1 , 2 − ξ 1 , 1
sont des minima globaux de f
sur S.
Le fait qu’on n’ait pu vérifier la condition suffisante de minimalité (stricte)
en un point x =
ξ 1 , 2 − ξ 1 , 1
s’explique aisément par le fait que f est
constante sur toute la droite {(ξ 1 , 2 − ξ 1 , 1) | ξ 1 ∈ R} .
** Exercice III.27. Soit dans R 2 le problème de minimisation suivant :
(P a )
Min f a (ξ 1 , ξ 2 ) := ξ 2
1 + aξ 2
2 + ξ 1 ξ 2 + ξ 1 ,
ξ 1 + ξ 2 − 1 0.
(a ∈ R)
1 ◦ ) Quand (P a ) est-il un problème de minimisation convexe ?
2 ◦ ) Résoudre (P a ) suivant les valeurs de a.
Solution : 1 ◦ ) La fonction g : (ξ 1 , ξ 2 ) −→ g(ξ 1 , ξ 2 ) := ξ 1 + ξ 2 − 1 définissant
la seule contrainte du type inégalité dans (P a ) est convexe, affine même.
Pour étudier la convexité de f a , considérons ∇ 2 f a (ξ 1 , ξ 2 ) :
∇
2 f a (ξ 1 , ξ 2 ) =
2 1
1 2a
pour tout (ξ 1 , ξ 2 ) ∈ R
2 .
∇ 2 f a (ξ 1 , ξ 2 ) est semi-définie positive si et seulement si a
1
4 .
Donc, le problème (P a ) n’est un problème de minimisation convexe que
lorsque a
1
4 .
2 ◦ ) Observations préliminaires :
– Si a < 0, sachant que (0, ξ 2 ) ∈ C :=
(ξ 1 , ξ 2 ) ∈ R 2 | ξ 1 + ξ 2 − 1 0
avec ξ 2 < 0 arbitraire, f a n’est pas bornée inférieurement sur C.
– Si a = 0, sachant qu’il y a dans C des éléments
1
2 , ξ 2
avec ξ 2 → −∞, f a
n’est pas bornée inférieurement sur C.
On n’étudiera donc (P a ) que pour a > 0.
1 er cas : a
1
4
·
Ici x =
ξ 1 , ξ 2
∈ C est solution de (P a ) si et seulement si :
∃ μ 0 tel que
∇f (x) + μ∇g(x) = 0,
μg(x) = 0,
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