III.4. Conditions de minimalité du second ordre
* Exercice III.26. On considère le problème de la minimisation de
f (ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ) := −ξ 1 − ξ 2 − ξ 2 ξ 3 − ξ 1 ξ 3 sous la contrainte ξ 1 + ξ 2 + ξ 3 − 3 = 0.
1 ◦ ) Ce problème est-il convexe ?
2 ◦ ) Déterminer tous les points vérifiant les conditions nécessaires de minimalité du 1 er ordre.
Parmi ces points quels sont ceux qui vérifient les conditions nécessaires de
minimalité du 2 e ordre ? ceux qui vérifient les conditions suffisantes de minimalité du 2 e ordre ?
Solution : 1 ◦ ) La fonction-objectif f est quadratique, avec
x = (ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ) −→ ∇
2 f (x) =
⎡
⎣
0 0 −1
0 0 −1
−1 −1 0
⎤
⎦ .
Mais ∇ 2 f (x) n’étant pas semi-définie positive, f n’est pas convexe. Le
problème posé n’est donc pas un problème de minimisation convexe.
2 ◦ ) Un point x =
ξ 1 , ξ 2 , ξ 3
vérifie les conditions nécessaires de minimalité
du 1 er ordre lorsque :
ξ 1 + ξ 2 + ξ 3 = 3 ;
∃ λ ∈ R tel que − 1 − ξ 3 + λ = 0 et − ξ 2 − ξ 1 + λ = 0.
Ce système d’équations conduit à λ = 2 et aux points x =
ξ 1 , 2 − ξ 1 , 1
,
ξ 1 ∈ R.
Le sous-espace H tangent à l’ensemble-contrainte (noté S) en x est l’hyperplan d’équation d 1 + d 2 + d 3 = 0. Ensuite :
∀ (d 1 , d 2 , d 3 ) ∈ H,
∇
2
xx L(x, λ)d, d
= 2(d 1 + d 2 )
2 = 2d
2
3 .
Donc, tous les points x =
ξ 1 , 2 − ξ 1 , 1
vérifient les conditions nécessaires
de minimalité du 2 e ordre.
Soit d = (d 1 , −d 1 , 0) avec d 1 = 0; il est clair que d ∈ H \ {0} et
∇ 2
xx L(x, λ)d, d
= 0. Donc aucun des points
ξ 1 , 2 − ξ 1 , 1
ne vérifie les conditions suffisantes de minimalité (stricte) du 2 e ordre.
Par ailleurs, f
ξ 1 , 2 − ξ 1 , 1
= − 4 constamment et
f (ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ) − (−4) = (ξ 1 + ξ 2 − 2)
2
0 pour
tout (ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ) dans l
ensemble-contrainte S.
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