Chapitre III. Minimisation avec contraintes. Conditions de minimalité
Après quelques calculs algébriques (on commence par supposer x 1 = 2 et
montrer que cela conduit à une contradiction ; donc x 1 < 2 et par conséquent
x 1 = x 2 , etc.), on arrive à : x 1 = x 2 =
3
2 , x 3 = x 4 =
9
2 .
Évidemment le point x est plus proche de u que le point u de K obtenu par
simple réarrangement par ordre croissant des coordonnées de u. Dans l’exemple
traité, la distance de u à x est 1 tandis que celle de u à u est 2.
* Exercice III.25. Dans R 2 on considère le problème de minimisation suivant :
(P α )
Min f (x) := (ξ 1 − 1)
2 + ξ 2
2
h(x) := −ξ 1 + αξ 2
2 = 0.
1 ◦ ) Observer que x = (0, 0) vérifie les conditions nécessaires d’optimalité du
1 er ordre de Lagrange.
2 ◦ ) À l’aide des conditions nécessaires de minimalité du 2 e ordre, décider en
fonction de α quand x est un minimum local et quand il ne l’est pas.
Solution : 1 ◦ ) La fonction h de la contrainte du type égalité est continûment
différentiable et ∇h(x) =
−1
2αξ 2
= (0, 0) . Si x = (0, 0) est un minimum
local (ou un maximum local) de f sous la contrainte h(x) = 0, il existe λ ∈ R
tel que ∇f (x) + λ∇h(x) = 0. C’est bien le cas ici avec λ = −2.
2 ◦ ) Le sous-espace tangent à l’ensemble-contrainte en x = (0, 0) est
H := {0} × R.
De plus
∇
2 f (x) + λ∇
2 h(x)
d, d
= 2(1 − 2α)d
2
2
pour tout d = (0, d 2 ) ∈ H.
Par suite :
– si α >
1
2 , x = (0, 0) ne peut être un minimum local de f sous la contrainte
h(x) = 0 ;
– si α <
1
2 , x = (0, 0) est un minimum local strict de f sous la contrainte
h(x) = 0 ;
– si α =
1
2 , on ne peut décider à l’aide des seules conditions du 1 er et
2 e ordre.
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