III.4. Conditions de minimalité du second ordre
Transformons ces conditions en observant :
u 1 − x 1 (= μ 1 ) 0, (u 1 + u 2 ) − (x 1 + x 2 ) (= μ 2 ) 0, . . .
(u 1 + . . . + u n−1 ) − (x 1 + . . . + x n−1 ) (= μ n−1 ) 0,
(u 1 + . . . + u n ) − (x 1 + . . . + x n ) = 0 ;
⎛
⎝
i
j=1
u j −
i
j=1
x j
⎞
⎠ (x i − x i+1 ) = 0 pour tout i = 1, . . . , n − 1
(u n − x n ) (x n−1 − x n ) = 0.
Réciproquement, (x 1 , . . . , x n ) vérifiant les conditions ci-dessus vérifie les
conditions (3.14) où on a posé μ i =
i
j=1
u j −
i
j=1
x j pour tout i = 1, . . . , n − 1.
En définitive nous avons la caractérisation suivante, exempte de toute référence à des multiplicateurs μ i :
x = (x 1 , . . . , x n ) est solution du problème posé si, et seulement si,
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x 1 x 2 . . . x n
i
j=1
x j
i
j=1
u j pour tout i = 1, . . . , n − 1
n
j=1
x j =
n
j=1
u j
⎛
⎝
i
j=1
u j −
i
j=1
x j
⎞
⎠ (x i − x i+1 ) = 0 pour tout i = 1, . . . , n − 1
(u n − x n ) (x n−1 − x n ) = 0.
3 ◦ ) Dans l’exemple proposé, on cherche x 1 x 2 x 3 x 4 tels que
x 1 2, x 1 + x 2 3, x 1 + x 2 + x 3 8, x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 12,
(2 − x 1 ) (x 1 − x 2 ) = 0, (3 − x 1 − x 2 ) (x 2 − x 3 ) = 0,
(8 − x 1 − x 2 − x 3 ) (x 3 − x 4 ) = 0, (4 − x 4 ) (x 3 − x 4 ) = 0.
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